Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.
Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki. Diferenciacija in izpeljava
uredi
m
=
sprememba v
y
sprememba v
x
=
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle m={{\mbox{sprememba v }}y \over {\mbox{sprememba v }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}}
uredi
Naj bo
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
{\displaystyle x}
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
.
{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}
Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient . Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti .
Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti :
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
{\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}}
diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a . Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu ).
Zveznost in odvedljivost
uredi
Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.
Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.
d
y
d
x
,
d
(
f
(
x
)
)
d
x
,
a
l
i
d
d
x
(
f
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}.}
Višje odvode zapišemo kot
d
n
y
d
x
n
,
d
n
(
f
(
x
)
)
d
x
n
,
a
l
i
d
n
d
x
n
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}
za n -ti odvod funkcije y=f(x)
Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange . Za oznako je uporabil znak unča . Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .
Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t , njen odvod zapišemo
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki , kjer je običajno s piko označen časovni odvod , oziroma odvod po času .
Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D , ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df .
Glavni članek: Tabela odvodov . Pravila za sestavljanje funkcij
uredi
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
±
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,}
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,}
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\!\,}
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,}
Odvodi elementarnih funkcij
uredi
odvod konstante : če je g(x) = c (konstanta), potem
g
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle g'(x)=0\,\!}
odvod potence : če je
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}\,}
r realno število , potem
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,}
Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana.
Na primer: če je r = 1/2, sledi
f
′
(
x
)
=
(
1
/
2
)
x
−
1
/
2
{\displaystyle f'(x)=(1/2)x^{-1/2}\,}
x .
odvod eksponentne funkcije :
Naravna eksponentna funkcija
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=e^{x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f'(x)=e^{x}\,\!}
V splošnem pa je odvod funkcije
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
a
x
ln
a
{\displaystyle f'(x)=a^{x}\ln a\,\!}
odvod logaritemske funkcije :
Naravna logaritemska funkcija
f
(
x
)
=
ln
x
{\displaystyle f(x)=\ln x\,\!}
f
′
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}
V splošnem je odvod logaritemske funkcije
f
(
x
)
=
log
a
x
{\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,\!}
f
′
(
x
)
=
1
x
ln
a
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\ln a}}}
Odvodi trigonometrijskih funkcij
uredi
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\!}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\!}
(
sin
2
x
)
′
=
2
cos
2
x
{\displaystyle (\sin 2x)'=2\cos 2x\!}
(
cos
2
x
)
′
=
−
2
sin
2
x
{\displaystyle (\cos 2x)'=-2\sin 2x\!}
(
sin
(
n
x
)
)
′
=
n
cos
(
n
x
)
{\displaystyle (\sin(nx))'=n\cos(nx)\!}
(
sin
2
x
)
′
=
2
sin
x
cos
x
=
sin
2
x
{\displaystyle (\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\!}
(
cos
2
x
)
′
=
−
2
sin
x
cos
x
=
−
sin
2
x
{\displaystyle (\cos ^{2}x)'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\!}
(
sin
n
x
)
′
=
n
sin
(
n
−
1
)
x
cos
x
{\displaystyle (\sin ^{n}x)'=n\sin ^{(n-1)}x\cos x\!}
(
cos
n
x
)
′
=
−
n
sin
x
cos
(
n
−
1
)
x
{\displaystyle (\cos ^{n}x)'=-n\sin x\cos ^{(n-1)}x\!}
(
tan
x
)
′
=
1
cos
2
x
;
cos
x
≠
0
{\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}};\;\cos x\neq 0}
(
cot
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
;
sin
x
≠
0
{\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};\;\sin x\neq 0}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Odvodi drugih funkcij:
uredi
(
k
)
′
=
0
{\displaystyle (k)'=0}
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
(
ln
|
x
|
)
′
=
1
x
{\displaystyle (\ln |x|)'={\frac {1}{x}}}
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
{\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}
uredi
Odvajanje vektorskih funkcij
uredi
Parcialno odvajanje
uredi
Naj bo
n
{\displaystyle n}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
Ogledamo si izraz
lim
h
→
0
u
(
x
+
h
b
1
,
y
+
h
b
2
,
z
+
h
b
3
)
−
u
(
x
,
y
,
z
)
h
=
d
u
d
b
→
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {u(x+hb_{1},y+hb_{2},z+hb_{3})-u(x,y,z)}{h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}}
Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
d
u
d
h
=
d
u
d
x
d
x
d
h
+
d
u
d
y
d
y
d
h
+
d
u
d
z
d
z
d
h
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}{\frac {{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}{\frac {{\mbox{d}}z}{{\mbox{d}}h}}\,\!}
Sledi
d
u
d
b
→
=
d
u
d
x
b
1
+
d
u
d
y
b
2
+
d
u
d
z
b
3
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}b_{1}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}b_{2}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}b_{3}}
pri čemer je
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
Torej
d
u
d
b
→
=
grad
u
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
=
grad
u
b
→
,
b
→
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u(b_{1},b_{2},b_{3})={\mbox{grad}}\,u{\vec {b}},\qquad {\vec {b}}}
d
u
d
b
→
=
grad
u
⋅
b
→
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u\cdot {\vec {b}}}
uredi
Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov
primer za vpeljavo novih spremenljivk:
J
=
|
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
|
{\displaystyle J={\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v}&x_{w}\\y_{u}&y_{v}&y_{w}\\z_{u}&z_{v}&z_{w}\end{vmatrix}}}
Opredelitve v Wikislovarju
Predstavnosti v Zbirki
Novice v Wikinovicah
Navedki v Wikinavedku
Besedila v Wikiviru
Učbeniki v Wikiknjigah
Viri v Wikiverzi
