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導數

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導數英文Derivative)係微積分裡面好重要嘅基礎概念,可以理解成一個函數喺某一個位嘅瞬間變化。

佢嘅定義係:

參考極限

例如 ,求佢嘅導函數

,展開變咗 ,消除咗個 淨低 ,約埋個 變成 ,由於 趨向 所以求到

導數可以搵出條線嘅瞬間變率(instantaneous rate of change)。

基本嘅求導公式

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係常數。
係常數。
係常數。
。睇下三角函數
。睇下自然指數

運算法則

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  • 加法:
  • 乘法:
證明:設
(對數律)
  • 除法:
  • 連鎖律:

常見問題

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冪函數嘅導數同ln(x)嘅關係: 對冪函數求導,指數部分會降低1次,如

(呢度可以當係)

但對常數繼續求導唔會變成 -1 次方,因為0乘任何數都係0,即

反過嚟,從積分方向考慮

,出現0分母,所以唔會變成0之方,正確係

冪函數似乎同自然對數函數ln(x)有密切關係。 其實原因好簡單,ln(x)嘅極限式就有一部分係由冪函數組成:

可以當成 同上面嘅積分式一樣。

可以用極限式求導:

結果一致。