Neutrálny prvok

Neutrálny prvok alebo identita (značka $e$, $E$, $I$ alebo $1$) je prvok množiny, ktorý, ak je jedným z operandov binárnej operácie, výsledkom operácie je nezmenený druhý operand. Príkladom neutrálneho prvku pre operáciu sčítania na množine reálnych čísel je číslo 0, resp. 1 je neutrálnym prvkom pre násobenie, opäť na množine reálnych čísel. Neutrálny prvok vystupuje v algebrických štruktúrach ako napríklad grupy, telesá a polia.

Definícia

Pre množinu M spojenú s binárnou operáciou ⊙ sa prvok e, patriaci do množiny M nazýva neutrálny prvok vtedy, ak výsledkom operácie e ⊙ a, pre každé a z množiny M je opäť prvok a. Ak operácia ⊙ nie je komutatívna, nazývame e neutrálnym prvkom zľava, alebo sprava (alebo ľavá a pravá identita). Matematicky:

• zľava: $\forall a\in M,e\in M:e\odot a=a$
• sprava: $\forall a\in M,e\in M:a\odot e=a$

Ľavých, resp. pravých neutrálnych prvkov môžu množiny obsahovať viacero, poprípade sa v nich nemusia vyskytovať žiadne. Ak však množina obsahuje súčasne ľavé aj pravé neutrálne prvky, tieto sa musia rovnať a výsledkom je jeden, obojstranne neutrálny prvok.

$e_{l},e_{r}\in M:e_{l}=e_{l}\odot e_{r}=e_{r}$

Príklady neutrálnych prvkov

Množina	Operácia	Neutrálny prvok
Reálne čísla	+ (sčítanie)	0
Reálne čísla	· (násobenie)	1
Komplexné čísla	+ (sčítanie)	0
Komplexné čísla	· (násobenie)	1
Matice rozmerov mxn	sčítanie matíc	nulová matica rovnakého rozmenu
Štvorcové matice	násobenie matíc	jednotková matica
Množiny	∪ (zjednotenie)	prázdna množina

Pozri aj

• Inverzný prvok
• Grupa
• Nula
• Jednotka

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Identity element na anglickej Wikipédii.

Matematický portál