Характеристика (алгебра)

Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.

Для кольца $R$ характеристикой $\mathop {\mathrm {char} } R$ называется наименьшее целое $n>0$ такое, что для каждого элемента $r\in R$ выполняется равенство:

$\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0$,

а если такого числа не существует, то предполагается $\mathop {\mathrm {char} } R=0$.

Если кольцо содержит натуральные числа, умножение определено обычным способом, и кольцо имеет единицу, то характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число $n$ такое, что $n\cdot 1=0$; если же такого $n$ не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел $\mathbb {Z}$, поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$, поля вещественных чисел $\mathbb {R}$, поля комплексных чисел $\mathbb {C}$ равны нулю. Характеристика кольца вычетов $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ равна $n$. Характеристика конечного поля $\mathbb {F} _{p^{m}}$, где $p$ — простое число, $m$ — положительное целое, равна $p$.

Тривиальное кольцо с единственным элементом $0=1$ — единственное кольцо с характеристикой $1$.

Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику $n$, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля $K$ есть либо $0$, либо простое число $p$. В первом случае поле $K$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$, во втором случае поле $K$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов $\mathbb {F} _{p}$. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в $K$).

Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в $\mathbb {F} _{p}$ и алгебраическое замыкание поля $\mathbb {F} _{p}$.

Если $R$ — коммутативное кольцо простой характеристики $p$, то $(a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}$ для всех $a,b\in R$, $n\in \mathbb {N}$. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.