Трижды периодическая минимальная поверхность

Поверхность Шварца H

Трижды периодическая минимальная поверхность (ТПМП, англ. triply periodic minimal surface, TPMS) — это минимальная поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$, являющаяся инвариантом по переносам в решётке ранга 3.

Эти поверхности имеют симметрии кристаллографической группы. Известны многочисленные примеры с кубическими, тетрагональными, гексагональными и ромбическими симметриями. Моноклинные и триклинные примеры определённо существуют, но было доказано, что их сложно параметризовать.

ТПМП востребованы в естественных науках. ТПМП были обнаружены как биологические мембраны, как блок-сополимеры, эквипотенциальные поверхности в кристаллах и др. Они также вызывают интерес в архитектуре, художественном оформлении и искусстве.

Свойства

Почти все изучавшиеся ТПМП не имели самопересечений (то есть были вложены в $\mathbb {R} ^{3}$) — с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающихся поверхностей очевидным образом имеется в изобилии).

Все связные ТПМП имеют род $\geqslant 3$ и в любой решётке существуют ориентированные вложенные ТПМП любого рода $\geqslant 3$.

Вложенные ТПМП ориентируемы и делят пространство на два непересекающихся подобъёма (лабиринта). Если эти два лабиринта конгруэнтны, говорят, что поверхность является сбалансированной поверхностью.

История

Поверхность Шварца P

Первыми примерами ТПМП были описанные Шварцем поверхности в 1865, за которыми последовала поверхность, описанная его студентом Э. Р. Неовиусом в 1883.

В 1970 году Алан Шён выступил с 12 новыми ТПМП, основанными на скелетных схемах кристаллографических решёток. Хотя поверхности Шёна завоевали популярность в естественных науках, построения не получили математического доказательства существования и оставались большей частью неизвестными для математиков, пока в 1989 году Г. Керхер не доказал их существование.

С помощью сопряжённых поверхностей было найдено много других поверхностей. Хотя представления Вейерштрасса известны для простых примеров, для большинства поверхностей они не известны. Вместо этого зачастую используются методы дискретной дифференциальной геометрии.

Семейства

Классификация ТПМП является открытой проблемой.

ТПМП часто образуют семейства, и их можно непрерывно деформировать из одной в другую. Миикс нашёл семейство с 5 параметрами для ТПМП рода 3, которое содержит все известные примеры поверхностей рода 3, за исключением гироида. Члены этого семейства можно непрерывно деформировать одно в другое, при этом поверхность остаётся вложенной во время процесса деформации (хотя решётка может меняться). Гироид и лидиноид находятся в отдельном 1-параметрическом семействе.

Другой подход классификации ТПМП заключается в рассмотрении их пространственных групп. Для поверхностей, содержащих прямые, можно перенумеровать возможные граничные многоугольники, обеспечивая тем самым классификацию.

Обобщения

Периодические минимальные поверхности можно построить в S³ и H³.

Можно обобщить разбиение пространства на лабиринты, чтобы найти трижды периодические (возможно, ветвящиеся) минимальные поверхности, которые разбивают пространство более чем на две части.

Квазипериодические минимальные поверхности были построены в $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbf {S} ^{1}$. Было высказано предположение, так и не доказанное, что минимальные поверхности с квазикристаллическим порядком существуют в $\mathbb {R} ^{3}$.

Галерея внешних изображений

• ТПМП галерея Кена Бракке [1]
• ТПМП из Архива Мнимальных Поверхностей [2]
• Трижды периодические сбалансированные минимальные поверхности с кубической симметрией [3]
• Галерея минимальных периодических поверхностей [4]
• 3-периодические минимальные поверхности без самопересечений [5]