Тождества Фирца

Тождества Фирца — тождества линейной алгебры, связывающие различные выражения в виде произведений матриц Паули, матриц Гелл-Манна и матриц Дирака, различающиеся между собой перестановкой индексов. Используются в теоретической физике.

Тождества Фирца для матриц Паули

$\delta _{b}^{a}\delta _{d}^{c}={\frac {1}{2}}\delta _{d}^{a}\delta _{b}^{c}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c}$

$\mathbf {\sigma } _{b}^{a}\mathbf {\sigma } _{d}^{c}={\frac {3}{2}}\delta _{d}^{a}\delta _{b}^{c}-{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c}$

Здесь и ниже $\sigma _{i}$ — матрицы Паули, $\delta _{b}^{a}$ — символ Кронекера,$\mathbf {\sigma } \mathbf {\sigma } =\sigma _{i}\sigma _{i},i=1,2,3$.

Тождества Фирца для матриц Гелл-Манна

$\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\beta }^{\gamma }$

$\mathbf {\lambda } _{\beta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\beta }^{\gamma }$

Здесь и ниже $\lambda _{\delta }$ — матрицы Гелл-Манна, $\mathbf {\lambda } \mathbf {\lambda } =\lambda _{i}\lambda _{i},i=1,2,3,...8$.

Тождества Фирца для матриц Дирака

$({\bar {a}}O_{i}b)({\bar {c}}O^{i}d)=\sum _{k}C_{ik}({\bar {a}}O_{k}d)({\bar {c}}O^{k}b)$

Здесь матрица $O$ может быть одного из пяти типов $(S,V,T,A,P)$:

$O_{S}=\mathbf {1}$,

$O_{V}=\gamma _{\alpha }$,

$O_{T}={\frac {\sigma _{\alpha \beta }}{\sqrt {2}}}$,

$O_{A}=\gamma _{5}\gamma _{\alpha }$,

$O_{P}=\gamma _{5}$,

где $\gamma _{\alpha }$ — матрицы Дирака. Буквы S, V, T, A, P означают соответственно скаляр, вектор, тензор (антисимметричный, второго ранга), аксиальный вектор и псевдоскаляр — это все возможные лоренц-ковариантные амплитуды, которые могут быть построены как произведение вида ${\bar {a}}Ob.$

Матрица $C_{ik}$ называется матрицей Фирца.

Матрица Фирца

Произведение	S	V	T	A	P
S × S =	1/4	1/4	−1/4	−1/4	1/4
V × V =	1	−1/2	0	−1/2	−1
T × T =	−3/2	0	−1/2	0	−3/2
A × A =	−1	−1/2	0	−1/2	1
P × P =	1/4	−1/4	−1/4	1/4	1/4

Эти тождества (в общем виде) были установлены в 1937 году швейцарским физиком Маркусом Фирцем, тогдашним ассистентом В. Паули.

См. также

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Матрицы Дирака

Литература

• Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 352 с. — ISBN 5-354-01084-5.