Теорема Слешинского — Прингсхайма

Теорема Слешинского — Прингсхайма — один из признаков сходимости обобщённых цепных дробей.

История

Теорема была доказана в конце 19-го века независимо Иваном Слешинским и Альфредом Прингсхаймом.

Формулировка

Предположим, $a_{n}$ и $b_{n}$ — последовательности вещественных чисел такие, что $|b_{n}|\geqslant |a_{n}|+1$ для любого $n$. Тогда цепная дробь

${\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

сходится абсолютно к некоторому вещественному числу в интервале $[0,1]$.