Теорема Гудстейна
Теорема Гудстейна — теорема математической логики о натуральных числах, доказанная Рубеном Гудстейном в 1944 году[1]. Утверждает, что так называемые последовательности Гудстейна заканчиваются нулём. В 1982 году Л. Кирби и Джефф Парис показали, что теорема Гудстейна недоказуема в арифметике первого порядка[2][3]. Тем не менее она может быть (и была) доказана, например, в арифметике второго порядка.
Формулировка
[править | править код]Рассмотрим представление целых положительных чисел в виде суммы степенных членов с одинаковым основанием.
Например, запишем число 581, используя основание 2:
Разложим показатели степени по тому же принципу:
Подобное разложение можно получить для любого числа.
Будем рекурсивно применять к получившемуся выражению следующую операцию:
- увеличение «основания» на 1 и вычитание 1 из самого числа.
Таким образом, после применения первой операции (меняем 2 на 3 и вычитаем единицу из числа) будет получено выражение
После второй (меняем 3 на 4 и вычитаем единицу из числа):
После третьей (меняем 4 на 5 и вычитаем единицу из числа):
Теорема Гудстейна утверждает, что в конце концов всегда будет получен 0.
Примеры
[править | править код]Рассмотрим пример последовательности Гудстейна для чисел 1, 2 и 3.
| Число | Основание | Запись | Значение |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 1 - 1 | 0 | |
| 2 | 2 | 21 | 2 |
| 3 | 31 − 1 | 2 | |
| 4 | 2 - 1 | 1 | |
| 5 | 1 − 1 | 0 | |
| 3 | 2 | 21 + 1 | 3 |
| 3 | (31 + 1) − 1 = 31 | 3 | |
| 4 | 41 − 1 = 1 + 1 + 1 | 3 | |
| 5 | (1 + 1 + 1) − 1 = 1 + 1 | 2 | |
| 6 | (1 + 1) − 1 = 1 | 1 | |
| 7 | 1 − 1 = 0 | 0 |
Вариации и обобщения
[править | править код]Верно и более сильное утверждение: Если прибавлять вместо 1 какое-то произвольное число к основанию и его же отнимать от самого числа, то всегда будет получаться 0 даже в том случае, когда показатели степеней не разложены изначально по основанию 2.
Последнее основание в качестве дискретной функции от исходного числа растёт очень быстро, и уже при оно достигает значения . При оно всегда будет числом Вудала[4].
Примечания
[править | править код]- ↑ Goodstein, R. (1944), "On the restricted ordinal theorem", Journal of Symbolic Logic, 9: 33—41
- ↑ Kirby, L.; Paris, J. (1982), "Accessible independence results for Peano arithmetic" (PDF), Bulletin London Mathematical Society, 14: 285—293, Архивировано из оригинала (PDF) 25 августа 2011 Архивная копия от 25 августа 2011 на Wayback Machine
- ↑ Роджер Пенроуз. Большое малое и человеческий разум. Приложение 1.
- ↑ Рассмотрим представление числа в виде , где — наше основание. Когда останется только коэффициент при , равный единице, обозначим значение этого . После этого при число превращается в Нетрудно показать, что в ходе дальнейшей эволюции каждое снижение коэффициента при на 1 удваивает k. Последним значением основания станет .
