Схема Горнера

Схе́ма Го́рнера (или правило Горнера, метод Горнера, метод Руффини-Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида $x-c$. Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера, однако Паоло Руффини опередил Горнера на 15 лет, а китайцам этот способ был известен еще в XIII веке.

Описание алгоритма

Задан многочлен

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots +a_{n}x^{n},\quad a_{i}\in \mathbb {R} .$

Пусть требуется вычислить значение данного многочлена при фиксированном значении $x=x_{0}$. Представим многочлен $P(x)$ в следующем виде:

$P(x)=a_{0}+x(a_{1}+x(a_{2}+\cdots x(a_{n-1}+a_{n}x)\dots )).$

Определим следующую последовательность:

$b_{n}=a_{n},$

$b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n}x_{0},$

…

$b_{i}=a_{i}+b_{i+1}x_{0},$

…

$b_{0}=a_{0}+b_{1}x_{0}.$

Искомое значение $P(x_{0})$ есть $b_{0}$. Покажем, что это так.

В полученную форму записи $P(x)$ подставим $x=x_{0}$ и будем вычислять значение выражения, начиная с внутренних скобок. Для этого будем заменять подвыражения через $b_{i}$:

${\begin{aligned}P(x_{0})&=a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+\cdots x_{0}(a_{n-1}+a_{n}x_{0})\dots ))=\\&=a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+\cdots x_{0}b_{n-1}\dots ))=\\&~~\vdots \\&=a_{0}+x_{0}b_{1}=\\&=b_{0}.\end{aligned}}$

Использование схемы Горнера для деления многочлена на бином

При делении многочлена $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}$ на $x-c$ получается многочлен $b_{0}x^{n-1}+b_{1}x^{n-2}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1}$ с остатком $b_{n}$ (см. теорема Безу).

При этом коэффициенты результирующего многочлена удовлетворяют рекуррентным соотношениям

$b_{0}=a_{0},\quad b_{k}=a_{k}+cb_{k-1}.$

Таким же образом можно определить кратность корней (использовать схему Горнера для нового полинома). Также схему можно использовать для нахождения коэффициентов при разложении полинома по степеням $(x-c)$:

$P(x)=b_{n}+b_{n-1}(x-c)+b_{n-2}(x-c)^{2}+\cdots +b_{0}(x-c)^{n}.$

Схема Горнера может использоваться для нахождения производных многочлена:

$P^{(k)}(c)=k!b_{n-k}.$

Примеры использования

Рассчитать $f(x)=2x^{3}-6x^{2}+2x-1$ для $x=3.$ Используем синтетическое деление:

 x₀│   x³    x²    x¹    x⁰
 3 │   2    −6     2    −1
   │         6     0     6
   └────────────────────────
       2     0     2     5

Здесь в первой строке записаны значение $x_{0}$ и коэффициенты многочлена.

Значения (по столбцам) в третьей строке соответствуют сумме значений первой и второй строки ($b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n}x_{0}$), а значения второй строки произведению x на значение в третьей строке предыдущего столбца ($b_{n}x_{0}$).

Например, если $a_{3}=2,a_{2}=-6,a_{1}=2,a_{0}=-1$ мы видим, что $b_{3}=2,b_{2}=0,b_{1}=2,b_{0}=5$ — значения в третьей строке. Так синтетическое деление базируется на методе Горнера.

Разделим $x^{3}-6x^{2}+11x-6$ на $x-2$:

 2 │   1    −6    11    −6
   │         2    −8     6
   └────────────────────────
       1    −4     3     0

Новый многочлен $x^{2}-4x+3$.

Пусть $f_{1}(x)=4x^{4}-6x^{3}+3x-5$ и $f_{2}(x)=2x-1$. Разделим $f_{1}(x)$ на $f_{2}\,(x)$, используя метод Горнера.

  2 │  4    −6    0    3   │   −5
────┼──────────────────────┼───────
  1 │        2   −2   −1   │    1
    └──────────────────────┼───────
       2    −2   −1    1   │   −4

Третья строка — сумма первых двух, деленная на два. Каждое значение второй строки совпадает с значением третьей строки в предыдущем столбце. Ответ на деление:

${\frac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}=2x^{3}-2x^{2}-x+1-{\frac {4}{2x-1}}.$

Также с помощью схемы Горнера можно вычислять значение числа в позиционной системе исчисления.

См. также

• Деление многочленов столбиком
• Деление столбиком
• Метод Лиля

Литература

• Левитин А. В. Глава 6. Метод преобразования: Схема Горнера и возведение в степень // Алгоритмы. Введение в разработку и анализ — М.: Вильямс, 2006. — С. 284—291. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
• Волков Е. А. § 2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Наука, 1987. — 248 с.
• С. Б. Гашков. § 14. Схема Горнера и перевод из одной позиционной системы в другую // Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 37—39. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-94057-146-8.

Ссылки

• Схема Горнера
• Вычисление многомерных полиномов — обобщение схемы Горнера на случай полинома от нескольких переменных.
• Метод Горнера в комплексном поле