Признак Шлёмильха

Не следует путать с Признак сгущения Шлёмильха.

Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.

Формулировка

Если существует такое $\delta >0$, что начиная с некоторого номера $n$ выполняется неравенство:

$S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,$

то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится.

Если же $S_{n}\leqslant 1$, начиная с некоторого $n$, то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$S=\lim _{n\to \infty }S_{n}$

то при $S>1$ ряд сходится, а при $S<1$ — расходится.

Замечание. Если $S=1$, то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Сравнение с признаком Раабе

Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим признак Раабе. Например, для ряда:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}}$,

соотношение соседних членов:

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2}}{4^{n}[n!]^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}$;

признак Раабе для него даёт:

$R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1$,

а признак Шлёмильха:

$S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 0$

Аналогично, признак Бертрана также подтверждает сходимость этого ряда:

$B_{n}={\frac {\ln n}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 0$.

Пример неприменимости

Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}$

Для него соотношение соседних членов:

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}$

Признак Раабе для него даёт:

$R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n}}={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1$,

также, как и признак Шлёмильха:

$S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 1$

С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:

$B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n}}-1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xrightarrow {n\to \infty } 0$.

Литература

• Subir Kumar Mukherjee. Theorem 15 // First Course in Real Analysis (англ.). — Kolkata: Academic Publishers, 2009. — P. 190. — 383 p. — ISBN 9788189781903.