Многообразие Эйнштейна

Многообразие Эйнштейна — риманово или псевдориманово многообразие, тензор Риччи которого пропорционален метрическому тензору.

Это условие удовлетворяется для решений уравнений Эйнштейна с возможно не нулевой космологической постоянной, но вообще говоря, размерность многообразия Эйнштейна и его сигнатура могут быть произвольными — они не обязательно должны быть четырёх-мерными лоренцевыми многообразиями изучаемых в общей теории относительности.

Определение

Риманово многообразие является многообразием Эйнштейна если

\mathrm {Ric} =k\cdot g

для некоторой постоянной $k$ , где $\mathrm {Ric}$ обозначает Риччи тензор а $g$ — метрический тензор.

В случае $k=0$ такое многообразие также называется Риччи-плоским.
Уравнение Эйнштейна с космологической постоянной $\Lambda$ выглядит следующим образом
$R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},$

T_{ab}

равен нулю. Поэтому уравнение сводится к

R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,

которое можно переписать как

R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda }{n-2}}\cdot g_{ab}.

То есть для космологической константы

\Lambda

имеем

k={\tfrac {2\cdot \Lambda }{n-2}}

.

Любоe многообразие постоянной секционной кривизны; в частности:
- Евклидово пространство, является плоским и значит Риччи-плоским и в частности многообразием Эйнштейна.
- Единичная сфера, $\mathbb {S} ^{n}$ эйнштейновская с $k=n-1$ .
- Пространство Лобачевского эйнштейновское с отрицательным $k$ .
Комплексные проективные пространства, $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ с метрикой Фубини — Штуди^[англ.]^*.
Пространство Калаби — Яу Риччи-плоские и в частности является многообразием Эйнштейна.

неравенство Хитчина — Торпа^[англ.] — необходимое топологическое условие для существования метрики Эйнштейна на замкнутом, ориентированном, четырёх-мерном многообразии.