Интеграл Лебега

Сверху интегрирование по Риману, снизу — по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, и на нём определена измеримая функция $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелевская $\sigma$-алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть $f$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, где $A\in {\mathcal {F}}$. Тогда интеграл Лебега функции $f$ по определению:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{A}d\mu =\mu (A).$

Определение 2. Пусть $f$ — простая функция, то есть $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$, где $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$, а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — конечное разбиение $X$ на измеримые множества. Тогда

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$.

Определение 3. Пусть теперь $f$ — неотрицательная функция, то есть $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$. Рассмотрим все простые функции $\{f_{s}\}$, такие что $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$. Обозначим это семейство ${\mathcal {P}}_{f}$. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$.

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

где

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$.

Определение 4. Пусть $f$ — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$.

Определение 5. Пусть наконец $A\in {\mathcal {F}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$,

где $\mathbf {1} _{A}(x)$ — индикатор-функция множества $A$.

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv \chi _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$, заданную на $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$, где ${\mathcal {B}}([0,1])$ — борелевская σ-алгебра на $[0,1]$, а $m$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение $1$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Действительно, мера отрезка $[0,1]$ равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна $1-0=1$.

Замечания

Приближение неотрицательной функции всюду монотонной последовательностью простых, сходящихся к ней

Указанная функция $f_{n}$ (коричневая) при возрастающем $n$ на фоне функции $f_{n}$ (зелёная)

Из семейства ${\mathcal {P}}_{f}$ всегда можно выделить такую последовательность функций $\{f_{n}\}$, что последовательность их значений $\{f_{n}(x)\}$ в любой точке $x$ из $X$ одновременно монотонно неубывает и стремится к $f(x).$

Для этого найдём разложение ${\textstyle X=\bigsqcup _{k=1}^{\infty }X_{k}}$, где ${\textstyle X_{k}}$ имеют конечную меру (подразумевается, что мера сигма-конечна). Теперь рассмотрим последовательность $\{f_{n}\}$ следующих функций. Когда $f(x)$ меньше ${\textstyle 2^{n}}$ и $x$ принадлежит объединению ${\textstyle \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}}$, функция равна целой части произведения $f(x)\cdot 2^{n}$, делённой на $2^{n}$; в таком случае происходит округление $f(x)$ с точностью до соответствующей степени двойки ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ (иначе говоря, при ${\textstyle {\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}\leqslant 2^{n}}$ функция $f_{n}(x)$ равна ${\textstyle {\frac {k}{2^{n}}}}$). Когда $f(x)$ не меньше ${\textstyle n}$ и $x$ принадлежит указанному объединению, функция равна ${\textstyle 2^{n}}$; Когда $x$ этому объединению не принадлежит, она равна нулю. Формализуя вышесказанное,

$$f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {\lfloor f(x)\cdot 2^{n}\rfloor }{2^{n}}},&f(x)<2^{n},\ x\in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k};\\[7pt]2^{n},&f(x)\geqslant 2^{n},\ x\in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k};\\[7pt]0,&x\not \in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}.\end{cases}}$$

Тогда понятно, что все $f_{n}$ простые, так как принимают ненулевые только значения из ${\textstyle \left\{{\frac {k}{2^{n}}}\right\}_{k=0}^{2^{2n}}}$, коих конечное количество, на множествах ${\textstyle \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}}$ конечной меры. В то же время для целой части верны неравенства

${\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n}}}={\frac {2{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n+1}}}={\frac {{\Big \lfloor }2{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }{\Big \rfloor }}{2^{n+1}}}\leqslant {\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n+1}{\big \rfloor }}{2^{n+1}}}$ и $2^{n}\leqslant f(x)<2^{n+1}\Rightarrow 2^{2n}\leqslant f(x)\cdot 2^{n}\Rightarrow 2^{n}\leqslant {\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n}}}$,

из которых следует неубывание всюду.

Другие замечания

• Так как $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, измеримая функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства

• Интеграл Лебега линеен, то есть

  $\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$,

где $a,b\in \mathbb {R}$ — произвольные константы.

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ почти всюду, $f(x)$ измерима и $g(x)$ интегрируема, то интегрируема и $f(x)$, и более того

  $0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если $f(x)=g(x)$ почти всюду, то

  $\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

• Модуль интеграла Лебега от некоторой функции не больше интеграла от модуля этой функции:

  $\left|\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant \int \limits _{X}|f(x)|\,\mu (dx)$.

Свойства интеграла Лебега как функции множества

В следующих свойствах интеграл Лебега рассматривается как функция

$F(X)=\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)$

от измеримого множества $X$ для некоторой измеримой интегрируемой функции $f(x)$.

• Интеграл Лебега счётно-аддитивен, то есть интеграл по счётному объединению непересекающихся множеств равен сумме интегралов по этим множествам:

  $A=\bigsqcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}f(x)\,\mu (dx)$.

• Если функция $f(x)$ неотрицательна, интеграл Лебега является счётно-аддитивной мерой на кольце множеств, на которых $f(x)$ интегрируема.
• Неравенство Чебышёва. Если функция $f(x)$ неотрицательна на множестве $A$, то для любого положительного $c$ мера множества всех $x$ из $A$, для которых значение $f(x)$ не меньше $c$, сама не больше интеграла от $f(x)$ по $A$, делённому на $c$:

  $\mu \left\{x\in A:f(x)\geqslant c\right\}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)$.

• Интеграл Лебега абсолютно непрерывен. Это значит, что для любого положительного $\varepsilon$ найдётся такое положительное $\delta$, что модуль интеграла от $f(x)$ по любому множеству $B\subseteq A$, меры меньше $\delta$, меньше $\varepsilon$:

  $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall B,\mu B<\delta :\left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|<\varepsilon$.

Доказательство

Обозначим за $A_{n}$ множество всех $x$ из $A$, для которых модуль $|f(x)|$ лежит в промежутке $[n;n+1)$: $A_{n}={\big \{}x\in A:n\leqslant |f(x)|<n+1{\big \}}$, за $B_{N}$ — всех $x$, для которых этот модуль больше $N$: $B_{N}={\big \{}x\in A:|f(x)|<N+1{\big \}}=\textstyle {\bigcup _{n=0}^{N}A_{n}}$, а за $C_{N}$ — дополнение $A\setminus B_{N}.$

Так как объединение множеств $A_{n}$ для всех целых неотрицательных $n$ есть всё множество $A$, в силу счётной аддитивности интеграл от $|f(x)|$ по $A$ равен сумме интегралов по $A_{n}.$ Но $f(x)$ интегрируема, поэтому её модуль $|f(x)|$ интегрируем, а значит такая бесконечная сумма $A_{n}$ сходится. Как следствие, найдётся такое целое $N$, что

$\sum _{n=N+1}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}|f(x)|\,\mu (dx)=\int \limits _{C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Теперь возьмём $\delta$ меньшим ${\textstyle {\frac {\varepsilon }{2(N+1)}}.}$ Тогда из того, что мера множества $B\subseteq A$ меньше $\delta$, следует искомое неравенство:

$\left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant \int \limits _{B\cap B_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)+\int \limits _{B\cap C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<\int \limits _{B\cap B_{N}}(N+1)\,\mu (dx)+\int \limits _{C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<\int \limits _{B_{N}}(N+1)\,\mu (dx)+{\frac {\varepsilon }{2}}=(N+1)\cdot \mu B_{N}+{\frac {\varepsilon }{2}}<(N+1)\cdot {\frac {\varepsilon }{2(N+1)}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Интегральные суммы Лебега

Интегральными суммами Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ называются суммы вида

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$,

где $y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N}$ — разбиение области значений функции $f(x)$.

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию $f(x)$ в каждой точке она принимает одно из значений $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}$ (а именно, $y_{k}$ на подмножестве $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$). Поэтому, если функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда $y_{1}\rightarrow -\infty$, $y_{N}\rightarrow +\infty$, и диаметр разбиения $\delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\}$ стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

$F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\}$

Тогда интегральные суммы Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции $y$ и функции распределения $F(y)$:

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }ydF(y)$.

Если функция распределения $F(y)$ имеет плотность: $dF(y)=\rho (y)dy$, то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy$.

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — С. 291—306.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.