Икосианы
Икосианы — это некоммутативная алгебраическая система, обнаруженная ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году[1][2]. В современной терминологии он нашёл задание группы вращений икосаэдра[англ.] с помощью генераторов и связей.
Открытие Гамильтона возникло из его попыток найти алгебру «троек» (3-кортежей), которые, как он верил, будут отражать оси координат. Икосианы можно отождествить с перемещениями по вершинам додекаэдра. Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к гамильтоновым циклам и гамильтоновым путям в теории графов[3]. Он также изобрёл игру «Икосиан» для иллюстрации и популяризации своего открытия.
Неформальное определение
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Icosian_grid_small_with_labels2.svg/250px-Icosian_grid_small_with_labels2.svg.png)
Алгебра основывается на трёх символах, которые являются корнями из единицы, так что последовательное применение любого из них через некоторое число шагов приводит к единице. Это:
Гамильтон также дал другую связь между символами:
(В современных терминах, это (2,3,5) группа треугольника.)
Операция ассоциативна, но не коммутативна. Она образует группу 60-го порядка, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра, а потому знакопеременной группе пятой степени.
Хотя алгебра существует как вполне абстрактное построение, её можно наглядно представить в терминах операций с вершинами додекаэдра. Гамильтон сам использовал плоское представление додекаэдра в качестве основы для игры.
Представим себе жука, ползущего вдоль определённого ребра додекаэдра (с помеченными вершинами) в определённом направлении, скажем, от к . Мы можем представить это как ориентированную дугу .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Icosian_calculus_iota2.svg/400px-Icosian_calculus_iota2.svg.png)
- Икосиан приравнивается к изменению направления любого ребра, так что жук будет ползти от к (следуя направленной дуге ).
- Икосиан приравнивается к вращению текущего направления жука против часовой стрелки вокруг конечной вершины. В нашем примере это означает изменение текущего направления на .
- Икосиан приравнивается к правому повороту в конечной точке, то есть переходе от к .
Наследие
[править | править код]Икосианы являются одним из наиболее ранних примеров многих математических идей, включая:
- Представление и изучение групп с помощью генераторов и связей;
- Группа треугольника, позднее обобщена в группы Коксетера;
- Визуализация группы с помощью графа, приведшая к комбинаторной теории групп, а позднее к геометрической теории групп;
- Гамильтоновы циклы и пути в теории графов[3];
- dessin d'enfant[4][5] — смотрите dessin d'enfant: история[англ.] для деталей.
Примечания
[править | править код]- ↑ Sir William Rowan Hamilton. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine. — 1856. — Т. 12. — С. 446. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ Thomas L. Hankins. Sir William Rowan Hamilton. — Baltimore, 1980. — С. 474. — ISBN 0-8018-6973-0.
- ↑ 1 2 Norman L. Biggs, E. Keith Lloyd, Robin J. Wilson. Graph theory 1736—1936. — Oxford: Clarendon Press, 1976. — С. 239. — ISBN 0-19-853901-0.
- ↑ Gareth Jones. Dessins d'enfants: bipartite maps and Galois groups // Séminaire Lotharingien de Combinatoire. — 1995. — Т. B35d. — С. 4. Архивировано 8 апреля 2017 года.
- ↑ W. R. Hamilton. Mathematical papers, Vol. III, Algebra / H. Halberstam, R. E. Ingram. — Cambridge: Cambridge University Press, 1967. — С. 612—625.
Для улучшения этой статьи желательно:
|