Дерево квадрантов
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Point_quadtree.svg/300px-Point_quadtree.svg.png)
Дерево квадрантов (также квадродерево, 4-дерево, англ. quadtree) — дерево, в котором у каждого внутреннего узла ровно 4 потомка. Деревья квадрантов часто используются для рекурсивного разбиения двухмерного пространства по 4 квадранта (области). Области представляют собой квадраты, прямоугольники или имеют произвольную форму. Англоязычный термин quadtree был придуман Рафаэлем Финкелем и Джоном Бентли[англ.] в 1974 году. Аналогичное разбиение пространства известно как Q-дерево. Общие черты разных видов деревьев квадрантов:
- разбиение пространства на адаптирующиеся ячейки (англ. adaptable cells),
- максимально возможный объём каждой ячейки,
- соответствие направления дерева пространственному разбиению.
Классификация
[править | править код]Деревья квадрантов могут быть классифицированы в соответствии с типом данных, который они представляют — пространством, точками, прямыми, кривыми. Также их можно разделить по тому, зависит ли форма дерева от порядка обработки данных. Некоторые виды деревьев квадрантов:
Region quadtree
[править | править код]Деревья квадрантов, разбивающие пространство (англ. region quadtree), представляют какую-либо часть двумерного пространства разбивая его на 4 квадранта, субквадранты и так далее, причём каждый лист дерева соответствует определённой области. У каждого узла дерева либо 4 потомка, либо их нет вовсе (у листьев). Деревья квадрантов, разбивающие пространство, не являются деревьями в полной мере, поскольку положение субквадрантов не зависит от данных. Более правильное название — префиксные деревья (англ. trie).
Дерево высоты n может быть использовано для представления изображения, состоящего из 2n × 2n пикселей, где каждый пиксель имеет значение 0 или 1. Корень дерева представляет всю область изображения. Если не все пиксели только нули или только единицы, она разбивается. В этом случае каждый лист соответствует множеству пикселей — либо только из нулей, либо только из единиц.
Деревья квадрантов, разбивающие пространство, также могут быть использованы для представления переменного разрешения какого-либо набора данных. Например, информация о температуре может храниться в виде дерева квадрантов, каждый узел которого хранит среднюю температуру дочерних узлов.
Если дерево используется для представления множества точек (например, широты и долготы положений каких-либо городов), области разбиваются до тех пор, пока листья будут содержать не более одной точки.
Point quadtree
[править | править код]Деревья квадрантов, хранящие информацию о точках (англ. point quadtree), — разновидность бинарных деревьев, используемых для хранения информации о точках на плоскости. Форма дерева зависит от порядка задания данных. Использование таких деревьев очень эффективно в сравнении упорядоченных точек плоскости, причём время обработки равно O(n log n).
Структура узла
[править | править код]Узел дерева квадрантов, хранящего информацию о точках плоскости, аналогичен узлу бинарного дерева лишь с той оговоркой, что узел первого имеет четыре потомка (по одному на каждый квадрант) вместо двух («правого» и «левого»). Ключ узла состоит из двух компонент (для координат x и y). Таким образом, узел дерева содержит следующую информацию:
- 4 указателя: quad[‘NW’], quad[‘NE’], quad[‘SW’], и quad[‘SE’],
- точка, описываемая следующим образом:
- ключ key, обычно выражает координаты x и y,
- значение value, например, имя.
Edge quadtree
[править | править код]Деревья квадрантов, хранящие информацию о линиях (англ. edge quadtree), используются для описания прямых и кривых. Кривые описываются точными приближениями путём разбиения ячеек на очень мелкие. Это может привести к разбалансировке дерева, что будет означать проблемы с индексацией.
Polygonal map quadtree
[править | править код]Деревья квадрантов, хранящие информацию о многоугольниках (англ. polygonal map quadtree/PMQuadtree), могут содержать информацию о полигонах, в том числе и о вырожденных (имеющих изолированные вершины или грани)[1].
Варианты использования
[править | править код]- Представление изображений.
- Пространственные базы данных.
- Эффективное обнаружение столкновений в двух измерениях.
- Отсечение невидимых частей ландшафта (англ. view frustum culling).
- Хранение данных для табличных или матричных вычислений.
- Вычисления, связанные с многомерными полями (в вычислительной гидродинамике, электромагнетизме).
- Симуляция игры Жизнь[2].
- Вычисление состояний наблюдаемой динамической системы[3].
- Анализ частей фрактальных изображений.
Деревья квадрантов являются двухмерным аналогом деревьев октантов (англ. octree).
Псевдокод
[править | править код]Следующий код демонстрирует использование деревьев квадрантов для хранения информации о точках. Возможны и другие подходы к построению.
Структуры данных
[править | править код]Предполагается использование следующих структур данных.
// Простая структура для представления точки или вектора struct XY { float x; float y; function __construct(float _x, float _y) {...} } // Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям // (axis-aligned bounding box, AABB), половинной размерности с центром struct AABB { XY center; XY halfDimension; function __construct(XY center, XY halfDimension) {...} function containsPoint(XY p) {...} function intersectsAABB(AABB other) {...} }
Класс QuadTree
[править | править код]Класс представляет собственно 4-дерево и корневой узел.
class QuadTree { // Константа — количество элементов, которые можно хранить в одном узле constant int QT_NODE_CAPACITY = 4; // Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям, // показывает границы дерева AABB boundary; // Точки Array of XY [size = QT_NODE_CAPACITY] points; // Потомки QuadTree* northWest; QuadTree* northEast; QuadTree* southWest; QuadTree* southEast; // Методы function __construct(AABB _boundary) {...} function insert(XY p) {...} function subdivide() {...} // Создание 4 потомков, делящих квадрант на 4 равные части function queryRange(AABB range) {...} }
Вставка
[править | править код]Следующий метод осуществляет вставку точки в соответствующий квадрант дерева, осуществляя разбиение, если это необходимо.
class QuadTree { ... // Вставить точку function insert(XY p) { // Игнорировать объекты, не принадлежащие дереву if (!boundary.containsPoint(p)) return false; // Объект не может быть добавлен // Если есть место, осуществить вставку if (points.size < QT_NODE_CAPACITY) { points.append(p); return true; } // Далее необходимо разделить область и добавить точку в какой-либо узел if (northWest == null) subdivide(); if (northWest->insert(p)) return true; if (northEast->insert(p)) return true; if (southWest->insert(p)) return true; if (southEast->insert(p)) return true; // По каким-то причинам вставка может не осуществиться (чего на самом деле не должно происходить) return false; } }
Вхождение в диапазон
[править | править код]Следующий метод находит все точки, входящие в некоторый диапазон.
class QuadTree { ... // Найти точки, входящие в диапазон function queryRange(AABB range) { // Подготовить массив под результат Array of XY pointsInRange; // Отмена, если диапазон не совпадает с квадрантом if (!boundary.insersectsAABB(range)) return pointsInRange; // Пустой список // Проверить объекты текущего уровня for (int p := 0; p < points.size; p++) { if (range.containsPoint(points[p])) pointsInRange.append(points[p]); } // Остановка, если больше нет потомков if (northWest == null) return pointsInRange; // Добавить все точки потомков pointsInRange.appendArray(northWest->queryRange(range)); pointsInRange.appendArray(northEast->queryRange(range)); pointsInRange.appendArray(southWest->queryRange(range)); pointsInRange.appendArray(southEast->queryRange(range)); return pointsInRange; } }
См. также
[править | править код]- Двоичное разбиение пространства
- K-мерное дерево
- Октодерево
- R-дерево
- UB-дерево (англ. UB-tree)
- Пространственная база данных
Ссылки
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Hanan Samet and Robert Webber. “Storing a Collection of Polygons Using Quadtrees”. ACM Transactions on Graphics July 1985: 182-222. InfoLAB. Web. 23 March 2012
- ↑ Tomas G. Rokicki. An Algorithm for Compressing Space and Time (1 апреля 2006). Дата обращения: 20 мая 2009. Архивировано 2 октября 2012 года.
- ↑ Henning Eberhardt, Vesa Klumpp, Uwe D. Hanebeck, Density Trees for Efficient Nonlinear State Estimation, Proceedings of the 13th International Conference on Information Fusion, Edinburgh, United Kingdom, July, 2010.
Источники
[править | править код]- Raphael Finkel and J.L. Bentley. Quad Trees: A Data Structure for Retrieval on Composite Keys (англ.) // Acta Informatica[англ.] : journal. — 1974. — Vol. 4, no. 1. — P. 1—9. — doi:10.1007/BF00288933.
- Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf. Computational Geometry (неопр.). — 2nd revised. — Springer-Verlag, 2000. — ISBN 3-540-65620-0. Chapter 14: Quadtrees: pp. 291–306.
- Samet, Hanan; Webber, Robert [http://infolab.usc.edu/csci585/Spring2008/den_ar/p182-samet.pdf Storing a Collection of Polygons Using
Quadtrees]Архивировано 2 октября 2012 года.
(июль 1985). Дата обращения: 23 марта 2012.Внешние ссылки
[править | править код]- Java quad tree example and explanation
- A discussion of the Quadtree and an application
- Considerable discussion and demonstrations of Spatial Indexing
- Example C# code for a quad tree
- Javascript Implementation of the QuadTree used for collision detection
- C++ Implementation of a QuadTree used for spatial indexing of triangles
- Quadtree Search JavaScript implementation