Бра и кет

⟨	∣	⟩
bra		ket
бра		кет
ско		бка

Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой. Данная система обозначений представляет собой не более чем иные текстуальные обозначения для векторов, ковекторов, билинейных форм и скалярных произведений, и потому применима (хотя и не так часто используется) в линейной алгебре вообще. В тех случаях, когда данная система обозначений используется в линейной алгебре, обычно речь идет о бесконечно-мерных пространствах и/или о линейной алгебре над комплексными числами.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства ${\mathcal {H}},$ элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом $|\psi \rangle$.

Каждому кет-вектору $|\psi \rangle$ ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к ${\mathcal {H}},$ то есть из ${\mathcal {H}}^{*}.$

Бра-вектор $\langle \psi |$ из пространства ${\mathcal {H}}^{*}$ определяется соотношением:

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$, для любого кет-вектора $|\rho \rangle .$

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису ${\mathcal {H}}^{*}$ или ${\mathcal {H}}.$

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ На векторы, описывающие состояния системы, когда это возможно, накладывается условие нормировки $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Линейные операторы

Если $A\colon H\to H$ — линейный оператор из $H$ в $H$, то действие оператора $A$ на кет-вектор $|\psi \rangle$ записывается как $A|\psi \rangle .$

Для каждого оператора $A$ и бра-вектора $\langle \varphi |$ вводится функционал $(\langle \varphi |A)$ из пространства ${\mathcal {H}}^{*},$ то есть бра-вектор, умноженный на оператор $A$, который определяется равенством:

${\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},$ для любого вектора $|\psi \rangle .$

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Это выражение называется свёрткой оператора $A$ с бра-вектором $\langle \varphi |$ и кет-вектором $|\psi \rangle .$ Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора $A$ в определённом базисе (в тензорных обозначениях — $A_{kl}$) записывается в обозначениях Дирака как $\langle k|A|l\rangle ,$ а среднее значение наблюдаемой (билинейная форма) на состоянии $\psi$ — как $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

$|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,$

$\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.$

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

$H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,$ где $H$ — гамильтониан, а $E$ — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$ в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору $i|\psi \rangle$ будет являться бра-вектор $-i\langle \psi |$ (где $i$ — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния $\psi$ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как $e_{k},$ в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: $\langle k|\;,\;|l\rangle .$ Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, ${\mathcal {H}}=R^{n},$ то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера $N\times 1$, бра-векторы — размера $1\times N$, операторы — размера $N\times N$, где $N$ — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ${\mathcal {H}}$). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

$\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_{N}\end{pmatrix}},$

где

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}$

Запись типа $\langle \ldots \rangle$ всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева $\langle ,$ кет-вектор — скобку справа $\rangle .$ Вводится также произведение в «неестественном» порядке — $|\varphi \rangle \langle \psi |$ (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор $|\psi \rangle \langle \varphi |$ имеет ранг 1 и является тензорным произведением $|\psi \rangle$ и $\langle \varphi |.$ Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор $|\psi \rangle \langle \psi |$ (при нормировке $\langle \psi |\psi \rangle =1$) является проектором на состояние $\psi$, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в ${\mathcal {H}}.$

Имеет место ассоциативность:

$\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,$

$|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi }}\rangle$

и т. д.

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.