Алгебра Хопфа
Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей (таким образом, являющаяся биалгеброй) c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.
Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они впервые возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории групповых схем, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и не только. Частая распространенность делает их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный объект в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.
Определение
[править | править код]Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем вместе с -линейным отображением (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:
Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — её умножение, η — её единица и ε — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:
- .
Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле на коммутативное кольцо ).
Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к H (которое всегда можно определить, если H является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.
Свойства антипода
[править | править код]Антипод S иногда обязан иметь R-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если H коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).
Вообще говоря, S — антигомоморфизм[1], так S2 — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если S было обратимо (как может требоваться).
Если , то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если H — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.
Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).[2]
Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает к .[3]
Подалгебры Хопфа
[править | править код]Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H и антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный R-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.
Подалгебра Хопфа A называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности, для всех h из H, где присоединённое действие определено как для всех a из A и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как для всех k из K. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что A = K является нормальной подалгеброй Хопфа.
Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): , где обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, что — идеал Хопфа алгебры H (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа и эпиморфизм , аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.[4]
Примеры
[править | править код]- Групповая алгебра. Пусть G — группа. Алгебра R G — ассоциативная алгебра над R, с единицей. Если мы определим
- Δ : R G → R G ⊗ R G, Δ(g) = g ⊗ g для любого g из G,
- ε : R G → R, ε(g) = 1 для любого g из G,
- S : R G → R G, S(g) = g−1 для любого g из G,
то R G превращается в алгебру Хопфа.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Ierogliff.tif/lossless-page1-220px-Ierogliff.tif.png)
- Диаграмма китайских иероглифов - связный граф, имеющий лишь трехвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлей Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки ребер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка - свободный -модуль, порожденный -вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порожденному всевозможными -соотношениями[5].
Когомологии групп Ли
[править | править код]Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид
в силу умножения группы . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.
Теорема Хопфа[6] Пусть A — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.
Квантовые группы
[править | править код]Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Δ = T ∘ Δ, где T : H ⊗ H → H ⊗ H есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».
Аналогия с группами
[править | править код]Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где H — множество, а не модуль. В этом случае:
- поле R заменено множеством из 1 элемента
- есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
- есть естественное коумножение (диагональное отображение)
- единица — нейтральный элемент группы
- умножение — умножение в группе
- антипод — взятие обратного элемента в группе
В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над полем из одного элемента[англ.].[7]
Примечания
[править | править код]- ↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 Архивная копия от 6 октября 2014 на Wayback Machine
- ↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3, p. 151 Архивная копия от 16 апреля 2014 на Wayback Machine
- ↑ Quantum groups lecture notes . Дата обращения: 4 июля 2011. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
- ↑ В.А.Васильев - Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997.
- ↑ Hopf, 1941.
- ↑ Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar Архивная копия от 9 июля 2011 на Wayback Machine, Group objects and Hopf algebras Архивная копия от 18 апреля 2016 на Wayback Machine, video of Simon Willerton.
Ссылки
[править | править код]- Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An introduction, Pure and Applied Mathematics, vol. 235 (1st ed.), Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-0481-0.
- Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras (недоступная ссылка), IHES preprint, September 2006, 81 pages
- Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
- H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). MR: 4784
- Street, Ross (2007), Quantum groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 19, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69524-4, MR: 2294803.
Литература
[править | править код]- Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.