Аддитивная теория чисел

Аддити́вная тео́рия чи́сел — раздел теории чисел, возникший при изучении задач о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида (например, на простые числа. фигурные числа, $n-$е степени и т. п.).

Среди классических проблем, исследование которых заложило фундамент аддитивной теории чисел, можно назвать следующие.

• Задача о представлении числа суммой четырёх квадратов и её обобщение: теорема Ферма о многоугольных числах.
• Задача о представлении простого числа в виде суммы двух квадратов.
• Проблема Гольдбаха.
• Проблема Варинга.
• Гипотезы Поллока.

Решение этих проблем осложняется тем, что в формулировках одновременно участвуют несколько базовых операций с натуральными числами:

• (мультипликативные) — деление, с помощью которого определяются простые числа, и умножение, формирующее квадраты, кубы и т. д.;
• (аддитивные) — сложение.

Связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел чрезвычайно сложна, и эта сложность ответственна за трудности при решении многих проблем теории чисел.

Современная аддитивная теория чисел включает широкий круг задач по исследованию абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел (особенно с аддитивной комбинаторикой) и с геометрией чисел, в ней применяются аналитические, алгебраические и вероятностные методы. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел — аналитическую теорию чисел, теорию алгебраических чисел, вероятностную теорию чисел.

История

Первые систематические результаты в аддитивной теории чисел были получены Леонардом Эйлером, который опубликовал в 1748 году исследование (с помощью степенных рядов) разложения натуральных чисел на натуральные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых и доказана теорема о пятиугольных числах. В этот же период возникли две классические проблемы аддитивного типа: проблема Гольдбаха и проблема Варинга, в дальнейшем появились десятки новых задач.

Для решения многих из этих проблем оказались полезны такие общие инструменты, как круговой метод Харди-Литтлвуда, метод решета и метод тригонометрических сумм. Гильберт доказал, что для любого целого числа $k>1$ любое натуральное число является суммой ограниченного числа слагаемых в степени $k$. Лев Шнирельман в 1930 году ввёл понятие плотности последовательности натуральных чисел, что позволило существенно продвинуться в решении проблемы Гольдбаха и доказать обобщённую теорему Варинга..

Григорий Фрейман в 1964 году доказал важную теорему из области аддитивной комбинаторики.

Современное состояние

Подмножество $B$ называется (асимптотическим) аддитивным базисом конечного порядка $h$, если любое достаточно большое натуральное число $n$ может быть записано как сумма не более $h$ элементов $B$. Например, натуральные числа сами являются аддитивным базисом порядка 1, поскольку каждое натуральное число тривиально является суммой не более одного натурального числа. Менее тривиальна теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов, показавшая, что множество квадратных чисел является аддитивным базисом четвёртого порядка. Другой весьма нетривиальный и широко известный результат в этом направлении — теорема Виноградова о том, что любое достаточно большое нечётное натуральное число можно представить как сумму трёх простых чисел.

Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, множество $A$ называется минимальным асимптотическим базисом порядка $h,$ если $A$ является асимптотическим базисом порядка $h$, но никакое собственное подмножество $A$ не является асимптотическим базисом порядка $h$. Доказано, что минимальные асимптотические базисы порядка $h$ существуют для всякого $h$, а также существуют асимптотические базисы порядка $h$, не содержащие минимальных асимптотических базисов порядка $h$.

Рассматривается также проблема — насколько можно уменьшить количество представлений $n$ в виде суммы $h$ элементов асимптотического базиса. Этому посвящена до сих пор не доказанная гипотеза Эрдёша — Турана (1941 год).

См. также

• Композиция числа
• Мультипликативная теория чисел
• Разбиение числа

Литература

• Аддитивная теория чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
• Бухштаб А. А. Проблемы аддитивной теории простых чисел // Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
• Гельфанд А. О., Линник Ю. В. Аддитивные свойства чисел // Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962. — 272 с.
• Метод решета // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.
• Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. — 1939. — № 6. — С. 9—25.
• Henry Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory. — Corrected reprint of 1965 Wiley. — Huntington, New York : Robert E. Krieger Publishing Company, 1976. — ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. — Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94656-X.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. — Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94655-1.
• Tao, Terence; Vu, Van. Additive Combinatorics. — Cambridge University Press, 2006. — Vol. 105.

Ссылки

• Бредихин Б. М. Additive number theory, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Additive Number Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.