F₄ (математика)

В математике F₄ — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли ${\mathfrak {f}}_{4}$. F₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Группа F₄ односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F₄, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

Компактная вещественная форма (комплексной) группы F₄ является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как «октонионная проективная плоскость», OP². Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как магический квадрат, разработанную Г. Фрейденталем и Ж. Титсом.

Есть 3 вещественные группы Ли с алгеброй ${\mathfrak {f}}_{4}$: компактная, разделённая и третья.

Алгебра Ли F₄ может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли ${\mathfrak {so}}(9)$ 16 генераторов, преобразующихся как спиноры, аналогично тому, как это делается в построении E₈.

Алгебра

Корневые векторы F₄

$(\pm 1,\pm 1,0,0)$,

$(\pm 1,0,\pm 1,0)$,

$(\pm 1,0,0,\pm 1)$,

$(0,\pm 1,\pm 1,0)$,

$(0,\pm 1,0,\pm 1)$,

$(0,0,\pm 1,\pm 1)$,

$(\pm 1,0,0,0)$,

$(0,\pm 1,0,0)$,

$(0,0,\pm 1,0)$,

$(0,0,0,\pm 1)$,

$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)$,

и простые положительные корневые векторы

$(0,1,-1,0)$,

$(0,0,1,-1)$,

$(0,0,0,1)$,

$\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)$.

Группа Вейля/Коксетера

Для данной группы это — группа симметрии гипероктаэдра.

Матрица Картана

${\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}$

Решётка симметрии F₄

4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F₄ как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.

Источники

• John Baez, The Octonions, Section 4.2: F₄, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. On-line HTML вариант (англ.)  (Дата обращения: 26 декабря 2009)