Хаусдорфово пространство

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.

Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение

Топологическое пространство $X$ называется хаусдорфовым, если любые две различные точки $x$, $y$ из $X$ обладают непересекающимися окрестностями $U(x)$, $V(y)$.

Примеры и контрпримеры

Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства $\mathbb {R} ^{n}$, многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как $L^{p}\$ или $W^{1,\;p}$, $p\geqslant 1\$.

Если топологическая группа является T₀-пространством, то она хаусдорфова. Если T₀ не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.

Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.

Свойства

• Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
• Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ в декартовом квадрате $X\times X$ пространства $X$.
• В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
• Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
• Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
• Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
• Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
• Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — 2-е, стереотипное. — М.: Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-0981-5.