Уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта

Уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта — уравнения движения материальной точки (1) в поле консервативных сил в классической механике, записанные в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения $\mathbf {V}$ и угловой скоростью вращательного движения $\mathbf {\Omega }$.

В ИСО уравнение движения Лагранжа имеет вид:

$m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }},$

в НСО уравнение приобретает четыре дополнительных члена (так называемые «эйлеровы силы инерции»):

$m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],$ (1)

где:

• жирным шрифтом обозначены векторные величины, квадратными скобками — векторное умножение;
• индекс $_{0}$ относится к величинам в ИСО;
• $t$ — время;
• $m$ — масса точки;
• $\mathbf {v}$ — вектор скорости точки;
• $\mathbf {r}$ — радиус-вектор точки;
• $U$ — потенциальная энергия.

Вывод формулы

Всякое движение может быть разложено в композицию поступательного и вращательного движений. Потому переход от ИСО К₀ к НСО К может рассматриваться в виде двух последовательных шагов: вначале переход от К₀ к промежуточной системе отсчёта К' , которая движется поступательно по отношению к К₀ со скоростью $\mathbf {V}$, а затем уже к К, которая вращается относительно К' с угловой скоростью $\mathbf {\Omega }$.

Принцип наименьшего действия не зависит от системы координат, вместе с ним уравнения Лагранжа также применимы в любой системе координат.

Лагранжиан в К',

$L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,$ (2)

получается путём подстановки поступательного преобразования скорости частицы $\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V}$ в лагранжиан, записанный в ИСО:

$L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.$

Выражения и для ИСО, и для НСО описывают эволюцию частицы в соответствующих системах отсчёта — закон сохранения энергии.

Как известно, члены, представляющие собой полные производные по времени некоторых функций, могут быть исключены из лагранжиана, так как они не влияют на уравнения движения (см. Лагранжева механика). В формуле (2) $\mathbf {V} ^{2}$ является функцией времени, и, тем самым, полной производной другой функции времени, соответствующий член может быть опущен. Поскольку $\mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt}}$,

$m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',$

где полная производная $m\mathbf {V} \mathbf {r} '$ по времени опять-таки может быть опущена. В итоге лагранжиан (2) преобразуется в

$L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '-U.$ (3)

При переходе от К' к К (чистое вращение) скорость изменяется на $[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$. При подстановке $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ в уравнение (3) образуется лагранжиан в К (учитывая, что $\mathbf {r} =\mathbf {r} '$):

$L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m}{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.$

Полный дифференциал этого лагранжиана выглядит как:

$dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r}$.

Применив формулу Лагранжа и изменив порядок операций в смешанном произведении векторов, дифференциал лагранжиана можно переписать в виде:

$dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .$

Частные производные лагранжиана по $\mathbf {v}$ и $\mathbf {r}$ соответственно будут:

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],$

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}.$

После подстановки частных производных в стандартное уравнение движения в форме Эйлера-Лагранжа

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }},$

получается формула (1).

Физический смысл

Векторное уравнение (1) описывает движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения. При этом, приложенная к телу внешняя сила, обеспечивающая поступательное движение, заменена потенциальным полем, в котором действуют консервативные силы.

При этом, движение НСО относительно ИСО называют переносным, вследствие чего, скорости, ускорения и силы, связанные с НСО, также называются переносными.

Выражение $m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$ — результирующий вектор суммы сил, находящихся в правой части уравнения (1).

Частная производная потенциальной энергии $U$ частицы во внешнем поле по радиусу—вектору $\mathbf {r}$ «точки приложения» сил определяет сумму всех сил, действующих со стороны внешних источников,

$-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}$.

Выражение переносной силы, действующей в однородном силовом поле, которое, в свою очередь, вызвано ускоренным поступательным движением системы, имеет вид

$m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}$,

где ${\frac {d\mathbf {V} }{dt}}$ — ускорение поступательного движения системы отсчёта $K'$.

«Силы инерции» в уравнении (1), обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей.

Первая часть представляет из себя переносную силу, связанную с неравномерностью вращения системы отсчёта:

$m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}]$.

Вторая часть

$2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]$

является выражением силы Кориолиса. В отличие от практически всех рассматриваемых в классической механике не диссипативных сил, её величина зависит от скорости частицы.

Третья часть представлена переносной центробежной силой

$m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]$.

Она лежит в плоскости, проходящей через $\mathbf {r}$ и $\mathbf {\Omega }$, и направлена перпендикулярно к оси вращения НСО (то есть направлению $\mathbf {\Omega }$), в сторону от оси. По величине центробежная сила равна $m\rho \Omega ^{2}$, где $\rho$ — расстояние от частицы до оси вращения.

Литература

• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. § 39. Движение в неинерциальной системе отсчёта // Теоретическая физика (рус.). — М.: Наука, 1988. — Т. I. Механика. — С. 163-167. — 216 с. — ISBN 5-02-013850-9.
• В. И. Арнольд. § 26. Движение в подвижной системе координат // Математические методы классической механики (рус.). — М.: Наука, 1979. — С. 106—110. — 432 с.