Теорема Уитни о вложении

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое $m$-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $2m$-мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если $m$ — степень двойки, то $m$-мерное проективное пространство невозможно вложить в $(2m-1)$-мерное евклидово пространство.

Схема доказательства

Случаи $m=1$ и $m=2$ устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая $m\geqslant 3$ используется факт, что гладкое отображение общего положения $f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}$ является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечения можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки $p,q\in \mathbb {R} ^{2m}$ самопересечения отображения $f$, имеющие разные знаки. Возьмем точки $x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M$, для которых $f(x_{p})=f(y_{p})=p$ и $f(x_{q})=f(y_{q})=q$. Соединим $x_{p}$ и $x_{q}$ гладкой кривой $x\subset M$. Соединим $y_{p}$ и $y_{q}$ гладкой кривой $y\subset M$. Тогда $f(x\cup y)$ есть замкнутая кривая в $\mathbb {R} ^{2m}$. Далее построим отображение $h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}$ с границей $h(\partial D^{2})=f(x\cup y)$. В общем положении, $h$ является вложением и $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ (как раз здесь используется то, что $m\geqslant 3$). Тогда можно изотопировать $f$ в маленькой окрестности диска $h(D^{2})$ так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для $m=1$ (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова.

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения $f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}$. Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку $p\in \mathbb {R} ^{2m}$ самопересечения отображения $f$. Возьмем точки $x,y\in M$, для которых $f(x)=f(y)=p$. Соединим $x$ и $y$ гладкой кривой $l\subset M$. Тогда $f(l)$ есть замкнутая кривая в $\mathbb {R} ^{2m}$. Далее построим отображение $h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}$ с границей $h(\partial D^{2})=f(l)$. В общем положении, $h$ является вложением и $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ (как раз здесь используется то, что $m\geqslant 3$). Теперь можно изотопировать $f$ в маленькой окрестности диска $h(D^{2})$ так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона и параграфе 8 обзора Скопенкова. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).

Вариации и обобщения

Пусть $M$ есть гладкое $m$-мерное многообразие, $m>1$.

• Если $m$ не является степенью двойки, тогда существует вложение $M$ в $\mathbb {R} ^{2m-1}$
• $M$ может быть погружено в $\mathbb {R} ^{2m-1}$
  • Более того $M$ может быть погружено в $\mathbb {R} ^{2m-a}$, где $a$ есть число единиц в двоичном представлении $m$.
    • Последний результат оптимален, для любого $m$ можно построить $m$-мерное многообразие (произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в $\mathbb {R} ^{2m-a-1}$.
• Теорема Мостоу — Паласа даёт эквивариантный вариант теоремы Уитни о вложении.

Литература

Оревков С. Ю. Физическое доказательство теоремы Уитни о плоских кривых// Сборник «Математическое Просвещение». Третья серия. 1997. Выпуск 1 . С. 96-102