Среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

$G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}$

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое $g$ двух чисел $a_{1}$ и $a_{2}$ обладает следующим свойством: ${\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}$, то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Свойства

• Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

$\operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).$

• Среднее геометрическое двух чисел $a=A_{0},b=G_{0}$ является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

$A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2}},\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{i-1}}}.$

• Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического.
• Десятичный логарифм среднего геометрического нескольких чисел является средним арифметическим десятичных логарифмов этих чисел. Поскольку десятичный логарифм показывает порядок величины числа в десятичной системе, то среднее геометрическое является средним по порядку величины. Например, для чисел 2 (~$10^{0}$) и 9000 (~$10^{4}$) среднее арифметическое - 4501 ~ $10^{4}$, среднее гармоническое - $\approx$4 ~ $10^{0}$, а среднее геометрическое - $\approx$134 ~ $10^{2}$.

Среднее геометрическое взвешенное

Основная статья: Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с вещественными весами $w_{1},\ldots ,w_{n}$ определяется как

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).$

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Среднее геометрическое отрезков:
$BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}$

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных $A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}$ при $g\to 0$.
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при $\phi (x)=\log _{a}x$.

См. также

• Геометрическая пропорция
• Геометрическая прогрессия
• Неравенство Швейцера