Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
n .
Pf
[
0
a
−
a
0
]
=
a
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.}
Pf
[
0
a
b
c
−
a
0
d
e
−
b
−
d
0
f
−
c
−
e
−
f
0
]
=
a
f
−
b
e
+
d
c
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}
Pf
[
0
λ
1
0
0
⋯
0
0
−
λ
1
0
0
0
⋯
0
0
0
0
0
λ
2
⋯
0
0
0
0
−
λ
2
0
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0
0
0
⋯
0
λ
n
0
0
0
0
⋯
−
λ
n
0
]
=
λ
1
λ
2
⋯
λ
n
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0\\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}
Пусть
Π
{\displaystyle \Pi }
разбиений множества
{
1
,
2
,
…
,
2
n
}
{\displaystyle \{1,2,\dots ,2n\}}
(
2
n
−
1
)
!
!
{\displaystyle (2n-1)!!}
α
∈
Π
{\displaystyle \alpha \in \Pi }
α
=
{
(
i
1
,
j
1
)
,
(
i
2
,
j
2
)
,
⋯
,
(
i
n
,
j
n
)
}
{\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}}
где
i
k
<
j
k
{\displaystyle i_{k}<j_{k}}
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
n
{\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}}
π
=
[
1
2
3
4
⋯
2
n
i
1
j
1
i
2
j
2
⋯
j
n
]
{\displaystyle \pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}}
обозначает соответствующую перестановку , а
sgn
(
α
)
{\displaystyle {\mbox{sgn}}(\alpha )}
знак перестановки
π
{\displaystyle \pi }
sgn
(
α
)
{\displaystyle {\mbox{sgn}}(\alpha )}
π
{\displaystyle \pi }
Пусть
A
=
{
a
i
j
}
{\displaystyle A=\{a_{ij}\}}
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
α
{\displaystyle \alpha }
A
α
=
sgn
(
α
)
a
i
1
,
j
1
a
i
2
,
j
2
⋯
a
i
n
,
j
n
.
{\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}
Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как
Pf
(
A
)
=
∑
α
∈
Π
A
α
.
{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.}
Пфаффиан кососимметричной матрицы размера
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n равен нулю по определению.
Пфаффиан матрицы размера
0
×
0
{\displaystyle 0\times 0}
A размера
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
Pf
(
A
)
=
∑
j
=
1
j
≠
i
2
n
(
−
1
)
i
+
j
+
1
+
θ
(
i
−
j
)
a
i
j
Pf
(
A
ı
^
ȷ
^
)
,
{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),}
где индекс
i
{\displaystyle i}
θ
(
i
−
j
)
{\displaystyle \theta (i-j)}
функция Хевисайда ,
A
ı
^
ȷ
^
{\displaystyle A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}}
A без i -той и j -той колонки и строки.
Для
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
A
=
{
a
i
j
}
{\displaystyle A=\{a_{ij}\}}
бивектор :
ω
=
∑
i
<
j
a
i
j
e
i
∧
e
j
.
{\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}.}
где
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
2
n
}
{\displaystyle \{e_{1},e_{2},\dots ,e_{2n}\}}
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
1
n
!
ω
∧
n
=
Pf
(
A
)
e
1
∧
e
2
∧
⋯
∧
e
2
n
,
{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{\wedge n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \wedge e_{2n},}
где
ω
∧
n
{\displaystyle \omega ^{\wedge n}}
внешнее произведение n копий
ω
{\displaystyle \omega }
