Полупростая группа Ли

Полупростая группа Ли — связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Иногда требование связности опускают.

Группа Ли полупроста тогда и только тогда, когда её касательная алгебра полупроста, то есть раскладывается в прямую сумму простых алгебр.

Свойства

• Всякая связная полупростая группа Ли допускает точное конечномерное линейное представление.
• Односвязная полупростая группа Ли однозначно (с точностью до изоморфизма групп Ли) определяется своей схемой Дынкина.
• Всякая полупростая группа Ли является центральным расширением произведения простых групп Ли.
• Неприводимое конечномерное представление связной полупростой группы Ли однозначно (с точностью до изоморфизма представлений) определяется своим старшим весом.

Применение

Теорема Леви-Мальцева о разложении Леви утверждает, что любая односвязная группа Ли является полупрямым произведением разрешимой нормальной подгруппы и полупростой подгруппы. Для многих задач это позволяет рассматривать отдельно теорию разрешимых групп Ли и отдельно — полупростых.

Литература

• Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — Москва: Наука, 1988. — 344 с. — ISBN 5-02-013721-9.