Подгруппа

Подгруппа ― подмножество $H$ группы $G$ , само являющееся группой относительно группового умножения на $G$ .

Подмножество $H$ группы $G$ является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

$H$ содержит единичный элемент из $G$
содержит произведение любых двух элементов из $H$ ,
содержит вместе со всяким своим элементом $h$ обратный к нему элемент $h^{-1}$ .

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.

Примеры

Подмножество группы $G$ , состоящее из одного элемента $1$ , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы $G$ .
Сама $G$ также является своей подгруппой.

Связанные определения

Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
Сама группа $G$ и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы $G$ , все остальные ― собственными.
Пересечение всех подгрупп группы $G$ , содержащих все элементы некоторого непустого множества $M$ , называется подгруппой, порождённой множеством $M$ , и обозначается $\langle M\rangle$ .
- Если $M$ состоит из одного элемента $a$ , то $\langle a\rangle$ называется циклической подгруппой элемента $a$ .
- Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
Если группа $G_{1}$ изоморфна некоторой подгруппе $H$ группы $G$ , то говорят, что группа $G_{1}$ может быть вложена в группу $G$ .
Если $H$ — подгруппа группы $G$ , то для любого $a\in G$ подмножество
$aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\}$

является подгруппой. При этом подгруппы

aHa^{-1}

и

H

называются сопряжёнными.

Основные свойства

Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
Непустое множество $H\subset G$ является подгруппой группы $G$ тогда и только тогда, когда для любых $a,b\in H$ выполняется $ab^{-1}\in H.$
Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы $G$ является подгруппой группы $G$ .
Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп $H$ и $K$ называется подгруппа, порожденная объединением множеств $H\cup K$ .
Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Смежные классы

Для подгруппы $H$ и некоторого элемента $a\in G$ , определяется левый смежный класс $aH=\{ax:x\in H\}$ . Количество левых смежных классов подгруппы $H$ называется индексом подгруппы $H$ в $G$ и обозначается $[G:H]$ . Аналогично можно определить правые классы смежности $Ha=\{xa:x\in H\}$ .

Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. Это свойство даёт возможность построить факторгруппу $G/H$ группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ .

Литература

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 24—25. — 224 с.