Неприводимый элемент

Неприводи́мый элеме́нт (неразложимый элемент) — одно из основных понятий теории колец.

Пусть $R$ — область целостности, т.е. коммутативное кольцо без делителей нуля. Элемент $p\neq 0$ называется неприводимым, если он не является обратимым и из равенства $p=bc$ , следует, что либо $b$ , либо $c$ является обратимым.

Если $p\neq 0$ — простой элемент, то есть $(p)$ — простой идеал, то $p$ неприводим. В самом деле, тогда если $p=ab$ имеем в силу простоты $(p)$ что, например $a\in (p)$ . Тогда имеем: $a=px$ для некоторого $x$ , значит $a=abx$ и $bx=1$ , то есть $b$ является обратимым. Обратное в общем случае неверно, хотя выполняется для всякого факториального кольца.

Многочлены над кольцом $R$ называются неприводимыми, если они являются неприводимыми элементами $R[x_{1},\ldots ,x_{n}].$

Литература

Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также