Мероморфная функция

Мероморфная функция (от греч. μέρος — «часть» и μορφή — «форма») одного комплексного переменного в области $P\subset \mathbb {C}$ (или на римановой поверхности $P$) — голоморфная функция $f$ в области $P\backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$, которая в каждой особой точке $a_{i}$ имеет полюс (таким образом $a_{i}$ — изолированная точка множества $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$, не имеющего предельных точек в $P$, и $\lim _{z\to a_{i}}|f(z)|=\infty$).

Гамма-функция мероморфна на всей комплексной плоскости (цветом обозначена фаза)

Определение

Вещественная мероморфная функция задается тройкой $(P,\tau ,f),$ где $P$ является компактной римановой поверхностью, $\tau :P\to P$ - антиголоморфная инволюция (инволюция комплексного сопряжения), а $f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}$ есть отображение на сферу Римана (${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$). При этом она должна удовлетворять условию $\tau \circ f={\overline {f(z)}}$ при всех $z\in P.$ Всякая вещественная функция строится по некоторой вещественной алгебраической функции: любой полином с вещественными коэффициентами $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,$ является вещественной мероморфной функцией. Множество $P^{\tau }\subset P$ неподвижных точек инволюции $\tau$ состоит из простых попарно непересекающихся замкнутых контуров (овалов). Если $P\setminus P^{\tau }$ является связным (несвязным), то кривая называется неразделяющей (разделяющей). Вещественная мероморфная функция $f$ переводит овал $a$ вещественной кривой $(P,\tau )$ в контур ${\hat {\mathbb {R} }}\subset S,$ где ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ Степень отображения $f(a)\subset {\mathbb {R} }$ определяется как $f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R}} .$ Индекс функции $(P,\tau ,f)$ на овале $a\in P^{\tau }$ - абсолютное значение степени $f|_{a}.$

Пространство вещественных мероморфных функций состоит из счетного числа компонент связности, где каждая компонента является незамкнутым конечномерным вещественным многообразием и выделяется заданием целочисленных топологических инвариантов. Например, инвариантами являются степень $n$ отображения $f$ и род $g$ кривой $P.$ Топологический тип функции $(P,\tau ,f)$ - набор чисел ($g,n,\varepsilon \,|\,I$), где $n$ - число листов накрытия $f,$ множество $I=(i_{1},...,i_{k})$ - совокупность индексов функции $(P,\tau ,f)$ на овалах, а $\varepsilon$ - число, равное 1 для разделяющих кривых, а 0 - для неразделяющих.

Совокупность $M(P)$ всех мероморфных функций на области $P$ является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства

• Отношение $\varphi /\psi$ любых голоморфных в $P$ функций, $\varphi$ и $\psi$, является мероморфной функцией в $P$.
• Обратно, всякая мероморфная функция в области $P\subset \mathbb {C}$ (и на некомпактной римановой поверхности $P$) представляется в виде $\varphi /\psi$, где $\varphi$ и $\psi$ голоморфны и не имеют общих нулей в $P$.

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле $M(P)$ совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в $P$.

• Всякая мероморфная функция $f\in M(P)$ определяет непрерывное отображение $f$ области $P$ в сферу Римана $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$, которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры $\mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}$.
• Обратно, всякое голоморфное отображение $f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$, определяет мероморфную функцию $f$ на $P$. При этом множество полюсов $f$ совпадает с дискретным множеством $f^{-1}(\infty )$.

Таким образом, мероморфные функции одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями на сферу Римана.

• На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
• На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

См. также

• Вычет

Ссылки

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.