Грассманиан

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства $V$ размерности $n$ называется многообразие, состоящее из его $p$-мерных подпространств. Обозначается $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ или $\mathbf {Gr} (p,n)$ или $\mathbf {Gr} (p,V)$. В частности, $\mathbf {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})$ — это многообразие прямых в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, совпадающее с проективным пространством $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n-1}$. Названо в честь Германа Грассмана.

На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение $\mathbf {Gr} (p,n)\subset \mathbf {P} ^{{n \choose p}-1}$. Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.

Доказательство

Грассманиан $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ можно наделить следующим атласом.

Пусть $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ — $p$-мерное подпространство $V$. Введём в векторном пространстве $V$ скалярное произведение и обозначим через $\Pi ^{\perp }$ ортогональное дополнение $\Pi$.

Так как $\Pi \oplus \Pi ^{\perp }=V$, то любое $p$-мерное подпространство $\Pi '$, достаточно близкое к $\Pi$, можно отождествить с линейным отображением $A:\Pi \to \Pi ^{\perp }$, если представить каждый вектор $a\in \Pi '$ в виде суммы $a=x+y$, где $x\in \Pi$ и $y\in \Pi ^{\perp }$, и положить $A(x)=y$.

Тогда окрестность точки $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений ${\mathcal {L}}(\Pi ,\Pi ^{\perp })$. Построенный атлас делает $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ аналитическим многообразием размерности $p(n-p)$, где $n=\dim V$.

Для того, чтобы показать, что $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.

Свойства

• Грассманиан $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ является проективным алгебраическим многообразием размерности $p(n-p)$, где $n=\dim V$. Соответственно, если $V=\mathbb {C} ^{n}$ — комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
• Грассмановым конусом порядка $p$ называется множество разложимых элементов внешней степени $\wedge ^{p}V$, то есть $p$-форм, представимых в виде произведения $p$ 1-форм. Проективизация грассманова конуса порядка $p$ совпадает с $\mathbf {Gr} _{p}(V)$.

• В силу естественного изоморфизма $p$-форм и $(n-p)$-форм, грассмановы многообразия порядка $p$ и $n-p$ совпадают.

• Вещественный грассманиан можно представить как однородное пространство ортогональной группы.

$\mathbf {Gr} (k,\mathbb {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right)$

Аналогично, комплексный грассманиан соответствует унитарной группе.

$\mathbf {Gr} (k,\mathbb {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right)$.

Эти соотношения означают, что линейное подпространство $W$ евклидова пространства можно задать, выбрав в объемлющем пространстве ортонормальный базис, первые $\dim W$ векторов которого образуют базис в $W$. Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом $W$, так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие факторгруппы.

Клеточное разбиение

Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$. Заданному k-мерному подпространству $V$ сопоставим набор чисел $s_{1,\dots ,k}$ (символ Шуберта) по правилу

$s_{i}=\min\{p\in \{1,\dots ,n\}\vert \dim \left(V\cap \left\langle e_{1},\dots ,e_{p}\right\rangle \right)=i\},\qquad i=1,\dots ,k$

Здесь $\left\langle e_{1},\dots ,e_{p}\right\rangle$ — подпространство, натянутое на первые $p$ векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями $s_{1,\dots ,k}$ гомеоморфно клетке, размерность которой равна $(s_{1}-1)+(s_{2}-2)+\dots +(s_{n}-n)$. Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид

$H_{m}(\mathbf {Gr} (k,n))={\begin{cases}0,\;m=2l+1\\\mathbb {Z} ^{d(k,l)},\;m=2l\end{cases}}$

Здесь $d(k,n)$ — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности $l$.

Обобщения

• Многообразие всех ортонормированных k-реперов в $\mathbb {R} ^{n}$ называется многообразием Штифеля $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$. Оно имеет естественную структуру локально тривиального расслоения, слоем которого является ортогональная группа:

$O(k)\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})$

В частности, $V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})\simeq SO_{n},$, $V_{n}(\mathbb {R} ^{n})\simeq O_{n},$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..

• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.