Вершина (геометрия)

Вершина — точка, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников.

Определение

Вершина угла

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча.

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке.

Вершина многоугольника многогранника

Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.

В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».

Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.

Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника, а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.

Вершины плоских мозаик

Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаики, но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.

Основная вершина

Вершина B является «ухом», поскольку открытый отрезок между вершинами C и D лежит полностью внутри многоугольника. Вершина C является «ртом», поскольку открытый отрезок между A и B лежит полностью вне многоугольника.

Вершина $x_{i}$ простого многоугольника $P$ является основной вершиной, если диагональ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ пересекает границы $P$ только в точках $x_{i-1}$ и $x_{i+1}$. Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже).

«Уши»

Основная вершина $x_{i}$ простого многоугольника $P$ называется «ухом», если диагональ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ лежит полностью в $P$. (см. также выпуклый многоугольник)

«Рты»

Основная вершина $x_{i}$ простого многоугольника $P$ называется «ртом», если диагональ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ лежит вне $P$.

Число вершин многогранника

Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:

$V-E+F=2,$

где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, а $F$ — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: $8-12+6=2$.

Вершины в компьютерной графике

В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершин. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части обработчика вершин.

Литература

• Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — 2nd ed. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN v1: 0-486-60088-2 , v2: 0-486-60089-0 , v3: 0-486-60090-4. (Аутентичный перевод книги Евклида «Начала» с обширными историческими исследованиями и детальными комментариями по тексту книги.)
• Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. — Elsevier Science, 2007. — ISBN 978-0-444-82937-5.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
• Introduction to the Mathematics of Quasicrystals / M.V. Jaric. — Academic Press, 1989. — Т. 2. — (Aperiodicity and Order). — ISBN 0-12-040602-0.
• Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler. Discrete differential geometry. — Birkhäuser Verlag AG, 2008. — ISBN 978-3-7643-8620-7.
• Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Discrete and Computational Geometry. — Princeton University Press, 2011. — ISBN 978-0-691-14553-2.
• Martin Christen. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes. — Khronos Group, 2009.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Polygon Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polyhedron Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Principal Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.