RSA

În criptografie, RSA este un algoritm criptografic cu chei publice, primul algoritm utilizat atât pentru criptare, cât şi pentru semnătura electronică. Algoritmul a fost dezvoltat în 1977 şi publicat în 1978 de Ron Rivest, Adi Shamir şi Leonard Adleman la MIT şi îşi trage numele de la iniţialele numelor celor trei autori.

Funcţionare

RSA este un algoritm de criptare pe blocuri. Aceasta înseamnă că atât textul clar cât şi cel cifrat sunt numere între 0 şi n-1, cu un n ales. Un mesaj de dimensiune mai mare decât $log\,n$ este împărţit în segmente de lungime corespunzătoare, numite blocuri, care sunt cifrate rând pe rând. De asemenea, ca algoritm criptografic cu chei publice, funcţionează pe baza unei perechi de chei legate matematic între ele: o cheie publică, cunoscută de toată lumea, şi una secretă, necunoscută decât de deţinătorul acesteia.

Generarea cheilor

Perechea de chei se generează după următorii paşi:

1. Se generează două numere prime, de preferat mari, p şi q;
2. Se calculează $n\,=\,pq$ şi $\phi \,=\,(p-1)(q-1)$
3. Se alege un întreg aleator e, $1<e<\phi$ astfel încât cmmdc(e, φ) = 1. Perechea (n, e) este cheia publică.
4. Folosind algoritmul lui Euclid extins, se calculează întregul d, unicul cu proprietatea că $de\,\equiv \,1\,mod\,\phi$. (n, d) constituie cheia secretă.

Decizia cu privire la care dintre e şi d este cheia publică şi care este cea secretă este, din punct de vedere matematic, arbitrară, oricare dintre cele două numere poate juca oricare dintre roluri. În practică însă, pentru a mări viteza de criptare, şi întrucât dintre cele două numere e este cel ales arbitrar, e este cheia publică iar valoarea sa este aleasă un număr mic, de regulă 3, 17 sau 65537 (2¹⁶+1). Aceasta conduce la un număr minim de înmulţiri, deci la o performanţă sporită, deoarece toate aceste numere au doar două cifre 1 în reprezentarea lor binară.

Criptarea şi decriptarea

Presupunând că mesajul clar este sub forma unui număr m, mai mic decât n, atunci mesajul cifrat, notat cu c este

$c\,=\,m^{e}\,{\pmod {n}}$

unde e este cheia publică a destinatarului mesajului. Pentru a decripta mesajul, destinatarul îşi foloseşte cheia sa secretă d, care are proprietatea foarte importantă că:

$de\,\equiv \,1\,mod\,\phi$

Astfel, mesajul clar este recuperat calculând:

$m\,=\,c^{d}{\pmod {n}}$

Oricine poate cripta mesaje cu cheia publică a destinatarului, dar numai acesta din urmă poate decripta, deoarece trebuie să folosească cheia sa secretă.

Algoritmul poate fi folosit şi pentru semnătura electronică, folosind cheile invers. Dacă o entitate criptează un mesaj (sau mai degrabă un hash al acestuia) cu cheia sa secretă şi ataşează rezultatul mesajului său, atunci oricine poate verifica, decriptând cu cheia publică a semnatarului şi comparând rezultatul cu mesajul clar (sau cu hash-ul acestuia), că într-adevăr acea entitate este autorul mesajului.

Demonstraţia formulei de decriptare

Formula de decriptare este valabilă, deoarece:

$c^{d}\,mod\,n\,=\,m^{ed}\,mod\,n$

$ed\equiv 1{\pmod {\phi }}$ şi, fiindcă $\phi =(p-1)(q-1)$, atunci

$ed\equiv 1{\pmod {p-1}}$ şi

$ed\equiv 1{\pmod {q-1}}$

şi deci se poate scrie:

$ed=k(p-1)+1$

$ed=h(q-1)+1$

Dar, cum p este prim, şi deci prim cu m, conform micii teoreme a lui Fermat, rezultă că

$m^{p-1}\,\equiv \,1{\pmod {p}}$

Astfel,

$m^{ed}=m^{k(p-1)+1}=(m^{p-1})^{k}m\equiv {1}^{k}m=m{\pmod {p}}\,$.

Dacă p nu este totuşi prim cu m, atunci înseamnă că m este multiplu al lui p, caz trivial în care m este congruent cu 0 modulo p, şi deci ridicat la orice putere este congruent cu 0 şi deci cu el însuşi.

Analog şi pentru q, $m^{ed}\equiv m{\pmod {q}}$

De aici, conform teoremei chinezeşti a resturilor, deoarece p şi q sunt numere prime, rezultă că

$m^{ed}\equiv m{\pmod {pq}}$

Securitatea

Problema decriptării unui mesaj criptat cu RSA este denumită problema RSA. Aceasta constă în obţinerea radicalului de ordin e modulo n, unde e şi n au proprietatea că n este produsul a două numere prime mari p şi q, iar e este prim cu produsul dintre p-1 şi q-1. În acest moment, cea mai eficientă metodă de a realiza aceasta este descompunerea în factori primi a lui n, şi obţinerea astfel a cheii secrete d pe baza lui e. Astfel, este demonstrat că dificultatea spargerii unui mesaj criptat cu RSA nu este mai dificilă decât problema factorizării. Nu a fost descoperită încă o altă soluţie generală a problemei RSA, dar nici nu s-a demonstrat matematic că nu există o altă soluţie.

Factorizarea întregilor prin metodele comune de genul algoritmului lui Euclid ajută la găsirea soluţiilor în timp util doar pentru numere mici. Pentru numere mari, algoritmii de factorizare, cu complexitate exponenţială, dau soluţia după foarte mult timp. Cea mai rapidă metodă de factorizare a întregilor, algoritmul general al ciurului câmpurilor de numere, are o complexitate de $o\left(e^{c((\log {n})^{\frac {1}{3}}(\log {\log {n}})^{\frac {2}{3}}}\right)$ Aici, c este un număr ce ia valori în jur de 1,9 pentru numere de tipul lui n, adică numere cu doi factori primi. Cel mai mare număr factorizat vreodată prin acest algoritm, rulat în anul 2005, de către specialişti de la Agenţia Federală Germană pentru Securitatea Tehnologiei Informaţiei, are 200 de cifre zecimale, iar reprezentarea binară a factorilor primi obţinuţi ocupă 663 de biţi. Cheile de criptare RSA cele mai sigure au lungimi de peste 1024 de biţi.

Atacul RSA prin metoda forţei brute, adică încercarea fiecărei chei secrete posibile, consumă chiar mai mult timp chiar decât factorizarea.

Bibliografie

• Bruce Schneier (1996). Applied Cryptography, Second Edition: Protocols, Algorithms, and Source Code in C. Wiley Computer Publishing, John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0471128457. 
• William Stallings (2005). Cryptography and Network Security, 4th edition. Prentice Hall. ISBN 0-13-187319-3. 
• Alfred Menezes. Handbook of Applied Cryptography. Paul van Oorschot, Scott Vanstone. 
• A. W. Lenstra, H.W. Lenstra Jr. The development of the number field sieve. Springer.