Pavare trihexagonală snub

pavare a planului euclidian cu patru triunghiuri și un hexagon în fiecare vârf
Pavare trihexagonală snub
Descriere
Tippavare uniformă
Configurația vârfului3.3.3.3.6
Configurația fețeiV3.3.3.3.3.3 (sau V36)
Simbol Wythoff| 6 3 2
Simbol Schläflisr{6,3} sau
Diagramă Coxeter
Grup de simetriep6, [6,3]+, (632)
Grup de rotațiep6, [6,3]+, (632)
Poliedru dualpavare pentagonală floare
Proprietățichirală, tranzitivă pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie pavarea hexagonală snub sau pavarea trihexagonală snub este o pavare semiregulată a planului euclidian, în care în fiecare vârf se întâlnesc câte patru triunghiuri echilaterale și un hexagon. Are simbolul Schläfli sr{3,6}. Pavarea tetrahexagonală snub este o pavare hiperbolică înrudită, cu simbolul Schläfli sr{4,6}.

Există trei pavări regulate ale planului și opt pavări uniforme. În afară de pavarea hexagonală, celelalte două pavări regulate sunt pavarea triunghiulară și pavarea pătrată. Cea de față este singura care nu are o simetrie de reflexie.

Există o singură colorare uniformă a unei pavări trihexagonale snub. (Identificarea culorilor prin indici în ordinea „3.3.3.3.6” dă „11213”.)

Împachetarea cercurilor

modificare
 

Pavarea trihexagonală snub poate fi folosită la împachetarea cercurilor, plasând cercuri de diametre egale în fiecare vârf. Fiecare cerc este în contact cu alte 5 cercuri din pavare (număr de contacte).[1] Domeniul rețelei (un romb) se repetă pentru fiecare 6 cercuri distincte. Golurile hexagonale pot fi umplute cu exact un cerc, ducând la cea mai densă împachetare din pavarea triunghiulară.

Poliedre și pavări înrudite

modificare
 
Există o pavare 2-uniformă asociată, care combină configurațiile vârfurilor 3.3.3.3.6 a pavării trihexagonale snub și 3.3.3.3.3.3 a pavării triunghiulare
Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme
Domenii
fundamentale
Simetrie: [6,3], (*632) [6,3]+, (632)
{6,3} t{6,3} r{6,3} t{3,6} {3,6} rr{6,3} tr{6,3} sr{6,3}
                                               
                 
Config. 63 3.12.12 (6.3)2 6.6.6 36 3.4.6.4 4.6.12 3.3.3.3.6


Variante de simetrie

modificare

Această pavare semiregulată este un membru al unei secvențe de poliedre și pavări snub cu figura de vârfului (3.3.3.3.n) și diagrama Coxeter–Dynkin      . Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32), existînd în planul euclidian pentru n = 6 și în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Seria poate fi considerată că începe cu n = 2, cu un set de fețe degenerat în digoane.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie
n32
Sferice Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Imagini
snub
               
Config. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Imagini
giro
               
Config. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞


Pavare pentagonală floare

modificare
Pavare pentagonală floare
 
Descriere
Tipdual pavare uniformă
Configurația vârfului3.3.3.3.6
Configurația fețeiV3.3.3.3.6
Simbol Wythoff| 6 3 2
Simbol Schläflisr{6,3} sau  
Diagramă Coxeter     
Grup de simetriep6, [6,3]+, (632)
Grup de rotațiep6, [6,3]+, (632)
Poliedru dualpavare trihexagonală snub
Proprietățichirală, tranzitivă pe fețe
 

În geometrie pavarea pentagonală floare este o pavare duală semiregulată a planului euclidian.[2][3] Este una dintre cele 15 pavări pentagonale izoedrice cunoscute. Cele șase dale pentagonale radiază dintr-un punct central, ca petalele unei flori.[4] Fiecare dintre fețele sale pentagonale are patru unghiuri de 120° și un unghi de 60°.

Este duala pavării trihexagonale snub uniforme.[5]

Variații

modificare

Pavarea pentagonală floare are variații geometrice cu lungimi inegale ale laturilor și simetrie de rotație, care sunt pavări pentagonale de tip 5. La limită, lungimea laturii devine zero și aceasta devine pavarea trihexagonală rombică.

Generală Lungime zero
degenerată
Cazuri particulare
 
(v. animația)
 
Pavare trihexagonală romboidală
       
 
a=b, d=e
A=60°, D=120°
 
a=b, d=e, c=0
A=60°, 90°, 90°, D=120°
 
a=b=2c=2d=2e
A=60°, B=C=D=E=120°
 
a=b=d=e
A=60°, D=120°, E=150°
 
2a=2b=c=2d=2e
0°, A=60°, D=120°
 
a=b=c=d=e
0°, A=60°, D=120°

Pavări k-uniforme și duale k-uniforme înrudite

modificare

Există mai multe pavări k-uniforme ale căror duale amestecă buchetele de 6 dale pentagonale cu alte feluri de dale; de exemplu, etichetarea F pentru V34.6, C pentru V32.4.3. 4, B pentru V33.42, H pentru V36:

uniformă (trihexagonală snub) 2-uniformă 3-uniformă
F, p6 (t=3, e=3) FH, p6 (t=5, e=7) FH, p6m (t=3, e=3) FCB, p6m (t=5, e=6) FH2, p6m (t=3, e=4) FH2, p6m (t=5, e=5)
           
dual uniformă (pentagonală floare) dual 2-uniformă dual 3-uniformă
           
3-uniformă 4-uniformă
FH2, p6 (t=7, e=9) F2H, cmm (t=4, e=6) F2H2, p6 (t=6, e=9) F3H, p2 (t=7, e=12) FH3, p6 (t=7, e=10) FH3, p6m (t=7, e=8)
           
dual 3-uniformă dual 4-uniformă
           

Fractalizare

modificare

Înlocuirea fiecărui hexagon V36 cu un rombitrihexagon furnizează o pavare uniformă cu 6 poziții, două vârfuri de 4.6.12 și două vârfuri de 3.4.6.4.

Înlocuirea fiecărui hexagon V36 cu un hexagon trunchiat furnizează o placă uniformă cu 8 poziții, cinci vârfuri de 32.12, două vârfuri de 3,4 .3.12 și un vârf de 3.4.6.4.

Înlocuirea fiecărui hexagon V36 cu un trihexagon trunchiat furnizează o pavare uniformă cu 15 poziții, douăsprezece vârfuri de 4.6.12, două vârfuri de 3,42 .6 și un vârf de 3.4.6.4.

În fiecare pavare fractală, fiecare vârf dintr-un domeniu pentagonal floare se află pe o orbită diferită, deoarece nu există o simetrie chirală (domeniile au lungimile laturilor în raport de 3:2 de   în cea rombitrihexagonală;   în cea hexagonală trunchiată și   în cea trihexagonală trunchiată).

Fractalizarea pavărilor trihexagonale snub utilizând pavările rombitrihexagonală, hexagonală trunchiată și trihexagonală trunchiată
Rombitrihexagonală Hexagonală trunchiată Trihexagonală trunchiată
     
     

Alte pavări înrudite

modificare
Pavări hexagonale/triughiulare uniforme duale
Simetrie: [6,3], (*632) [6,3]+, (632)
             
V63 V3.122 V(3.6)2 V36 V3.4.6.4 V.4.6.12 V34.6
  1. ^ en Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, pattern E
  2. ^ en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things, 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5
  3. ^ en „A K Peters, LTD. - The Symmetries of Things”. Arhivat din original la . Accesat în .  (Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 288, table)
  4. ^ en Five space-filling polyhedra by Guy Inchbald
  5. ^ en Eric W. Weisstein, Dual tessellation la MathWorld.

Bibliografie

modificare
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]
  • en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (). Tilings and Patterns . New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
  • en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc. p. 39, ISBN: 0-486-23729-X
  • en Keith Critchlow, Order in Space: A design source book, 1970, p. 69-61, Pattern R, Dual p. 77-76, pattern 5
  • en Dale Seymour and Jill Britton, Introduction to Tessellations, 1989, ISBN: 978-0866514613, pp. 50–56, dual rosette tiling p. 96, p. 114

Legături externe

modificare