Tensor misto

Em análise tensorial, um tensor misto é um tensor que não é nem estritamente covariante nem estritamente contravariante; pelo menos um dos índices de um tensor misto será um subscrito (covariante) e, pelo menos, um dos índices será um sobrescrito (contravariante).

Um tensor misto de tipo ou valência $\scriptstyle {\binom {M}{N}}$ , também escrito "tipo (M, N)", com tanto M > 0 e N > 0, é um tensor o qual tem índices contravariantes M e índices covariantes N. Tal tensor pode ser definido como uma função linear que mapeia um (M + N)-toplo de M formas-um e N vetores a um escalar.

A alteração do tipo do tensor

Considere o seguinte octeto de tensores relacionados:

T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }

.

O primeiro é covariante, o último é contravariante, e os restantes são mistos. Do ponto de vista de notação, esses tensores diferem umas dos outros pela covariância/contravariância de seus índices. Um dado índice contravariante de um tensor pode ser reduzido usando-se o tensor métrico g_μν, e um dado índice covariante pode ser elevado usando-se o tensor métrico inverso g^μν. Então, g_μν poderia ser chamado operador de redução de índice e g^μν operador de elevação de índice.

Referências

D.C. Kay (1988). Tensor Calculus. [S.l.]: Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6
Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. (1973). «§3.5 Working with Tensors». Gravitation. [S.l.]: W.H. Freeman & Co. pp. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0
R. Penrose (2007). The Road to Reality. [S.l.]: Vintage books. ISBN 0-679-77631-1