Lei da gravitação universal
Mecânica clássica |
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![]() Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração. |
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A lei da gravitação universal afirma que, se dois corpos possuem massa, ambos estão submetidos a uma força de atração mútua proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade.[1] Essa lei foi formulada pelo físico inglês Isaac Newton em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada em 1687, que descreve a lei da gravitação universal e as Leis de Newton — as três leis dos corpos em movimento que assentaram-se como fundamento da mecânica clássica.[2]
A gravidade é uma força fundamental de atração que age entre todos os objetos por causa de suas massas, isto é, a quantidade de matéria de que são constituídos. A gravidade mantém os objetos celestes unidos e ligados, como os gases quentes contidos pelo Sol e os planetas, confinados às suas órbitas. A gravidade da Lua causa as marés oceânicas na Terra. Por causa da gravitação, os objetos sobre a Terra são atraídos para seu centro.
História
[editar | editar código-fonte]Ainda que os efeitos da gravidade sejam fáceis de notar, a busca de uma explicação para a força gravitacional tem embaraçado o homem durante séculos. O filósofo grego Aristóteles empreendeu uma das primeiras tentativas de explicar como e por que os objetos caem em direção à Terra. Entre suas conclusões, estava a ideia de que os objetos pesados caem mais rápido que os leves. Embora alguns tenham se oposto a essa concepção, ela foi comumente aceita até o fim do século XVII, quando as descobertas do cientista italiano Galileu Galilei ganharam aceitação. De acordo com Galileu, todos os objetos caíam com a mesma aceleração, a menos que a resistência do ar ou alguma outra força os freasse.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg/220px-Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg)
Os antigos astrônomos gregos estudaram os movimentos dos planetas e da Lua. Entretanto, o paradigma aceito hoje foi determinado por Isaac Newton, físico e matemático inglês, baseado em estudos e descobertas feitas pelos físicos que até então trilhavam o caminho da gravitação. Como Newton mesmo disse, ele chegou a suas conclusões porque estava "apoiado em ombros de gigantes". No início do século XVII, Newton baseou sua explicação em cuidadosas observações dos movimentos planetários, feitas por Tycho Brahe e por Johannes Kepler. Newton estudou o mecanismo que fazia com que a Lua girasse em torno da Terra. Estudando os princípios elaborados por Galileu Galilei e por Johannes Kepler, conseguiu elaborar uma teoria que dizia que todos os corpos que possuíam massa sofreriam atração entre si.
Galileu Galilei previamente estabeleceu uma relação entre a queda dos corpos e os movimentos planetários. Alguns contemporâneos de Newton, como Robert Hooke, Christopher Wren e Edmund Halley, também fizeram avanços significativos no entendimento da gravitação. No entanto, foi Newton quem primeiramente propôs uma forma matemática precisa e a utilizou para demonstrar que os corpos celestes deveriam seguir trajetórias em forma de seções cônicas, incluindo círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Essa projeção teórica foi um triunfo notável, uma vez que já se sabia há algum tempo que luas, planetas e cometas seguiam essas trajetórias, mas ninguém havia sido capaz de elucidar o mecanismo que os levasse a seguir essas trajetórias específicas e não outras. A magnitude da força em cada objeto (um tem massa maior que o outro) é a mesma, de acordo com a terceira lei de Newton.[3]
A partir das leis de Kepler, Newton mostrou que tipos de forças devem ser necessárias para manter os planetas em suas órbitas. Ele calculou como a força deveria ser na superfície da Terra. Essa força provou ser a mesma que dá à massa sua aceleração.
Diz uma lenda que, quando tinha 23 anos, Newton viu uma maçã cair de uma árvore e compreendeu que a mesma força que a fazia cair mantinha a Lua em sua órbita em torno da Terra.
Conforme os primeiros relatos, Newton encontrou sua inspiração para estabelecer a relação entre a queda dos corpos e os movimentos astronômicos ao testemunhar uma maçã caindo de uma árvore. Esse evento o levou a uma percepção crucial: se a força gravitacional pudesse estender-se além do solo até a árvore, também poderia alcançar o Sol. A anedota da maçã de Newton tornou-se parte do folclore mundial, embora sua veracidade possa estar ancorada em fatos.[3]
A importância atribuída a essa inspiração está ligada ao fato de que as leis universais da gravitação de Newton e suas leis do movimento responderam a questionamentos ancestrais sobre a natureza, fornecendo um sólido suporte à noção de simplicidade e unidade subjacentes à realidade natural. Os cientistas ainda anseiam que a simplicidade subjacente seja revelada através de suas contínuas investigações sobre a natureza.
Corpos de simetria esférica e a gravitação
[editar | editar código-fonte]As partículas dos corpos que possuem uma distribuição de massa simetricamente esférica, como estrelas, luas e planetas, tendem a se aproximar do centro de massa. Assim, um acumulado de poeira cósmica ao aglutinar-se, as partículas começam a se aproximar de forma uniforme, pois quanto mais acumuladas, mais força têm para comprimi-las. Por isso os corpos geralmente assumem uma forma esférica, visto que, quando sua massa é pequena esse efeito é bastante baixo e os corpos podem ter alterações em seus formatos.[4]
Formulação da Lei da Gravitação Universal
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg/300px-NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg.png)
A lei da gravitação universal diz que duas partículas quaisquer do Universo se atraem gravitacionalmente por meio de uma força que é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.
A força gravitacional é sempre atrativa e sua magnitude depende apenas das massas das partículas envolvidas e da distância que as separa. Expressando-se na linguagem moderna, a lei universal da gravitação de Newton estabelece que cada partícula no universo exerce uma atração em todas as outras partículas ao longo de uma linha que as conecta.[3]
Se os corpos não são de partículas ou não podem ser considerados como pontos materiais, a distância estabelecida entre elas deve ser medida em relação ao centro de massa delas, ou seja pontos onde pode-se supor que está concentrada toda a massa do corpo ou o sistema de corpos.
onde
- F1 (F2) é a força, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo 2 (1), medida em newtons;
- é constante gravitacional universal, que determina a intensidade da força,
- m 1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si, medidas em quilogramas; e
- r é a distância entre os dois corpos, medida em metros;
- o versor do vetor que liga o corpo 1 ao corpo 2.
A constante gravitacional universal foi medida anos mais tarde por Henry Cavendish. A descoberta da lei da gravitação universal se deu em 1685 como resultado de uma série de estudos e trabalhos iniciados muito antes.
O estabelecimento de uma lei de gravitação, que unifica todos os fenômenos terrestres e celestes de atração entre os corpos, teve enorme importância para a evolução da ciência moderna.
A lei da gravitação de Newton leva a observação de Galileu, de que todas as massas caem com a mesma aceleração, a um passo adiante, explicando essa observação em termos de uma força que faz com que os objetos caiam - na verdade, em termos de uma força de atração universal existente entre as massas.[3]
Problema de Kepler
[editar | editar código-fonte]O problema de Kepler é um caso especial do problema dos dois corpos, em que os dois corpos interagem por uma força central que varia proporcionalmente ao inverso do quadrado da distância.[carece de fontes] Esse problema resume-se a usar a segunda lei de Newton para escrever as equações de movimento do sistema, descobrindo sua trajetória no espaço. Isto é:
Sistema polar de coordenadas
[editar | editar código-fonte]Um sistema de coordenadas adequado para resolver o problema é o sistema de coordenadas polares, de coordenadas e , que se relacionam com as coordenadas cartesianas e da seguinte maneira:[5]
Para resolver o problema, é necessário saber como a aceleração é escrita em coordenadas polares, isto é, como combinação linear dos versores e . Como , basta derivar duas vezes o vetor posição em relação ao tempo para encontrar a aceleração. Em coordenadas polares:
Derivando a expressão, pela regra do produto:
Para encontrar é necessário recorrer às seguintes relações:
Daí se conclui que e, portanto:[6]
Derivando mais uma vez e usando a relação :[6]
Resolução da segunda lei de Newton
[editar | editar código-fonte]Pela segunda lei de Newton:
Cancelando a massa de ambos os lados da equação e escrevendo em coordenadas polares, obtém-se a seguinte equação vetorial:
Originando duas equações escalares de movimento:[7]
Multiplicando por , percebe-se que há conservação do momento angular :[7]
Eliminando em através de pela relação , obtém-se:
Tal equação diferencial de em função de pode ser modificada de modo que seja uma função de modificando a segunda derivada temporal através da regra da cadeia:
Resulta, então a seguinte equação para a função :
Para resolver , define-se a função e, consequentemente, suas derivadas em relação a :[7]
Substituindo essas novas relações em :
Resultando, finalmente, na equação do oscilador harmônico:
Cuja solução geral pode ser escrita como:[7]
Em que e são constantes arbitrárias. É conveniente escrever , em que é a nova constante, denominada excentricidade. Assim, resulta ser:[7]
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ «Gravitação Universal». Só Física
- ↑ Silva, Lucas Henrique dos Santos. «Lei da Gravitação Universal». InfoEscola
- ↑ a b c d URONE, Paul Peter; HINRICHS, Roger (2019). College Physics. Texas: XanEdu Publishing Inc. pp. 217–228
- ↑ Young, Hugh, Freedman, Roger A (2008). Física II: Termodinâmica e Ondas. São Paulo: Pearson. p. 2. ISBN 978-85-88639-33-1
- ↑ Nascimento, Mauri C. «Coordenadas Polares» (PDF)
- ↑ a b Martins, Jorge Sá. «Os vetores velocidade e aceleração em coordenadas polares bidimensionais». Youtube
- ↑ a b c d e «Deriving Kepler's Laws». Brilliant