Valor esperado

Em estatística, especificamente em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma do produto de cada probabilidade de saída da experiência pelo seu respectivo valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Definição matemática

Esperança de uma variável aleatória

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ e com as suas probabilidades representadas pela função $p(x_{i})$, o valor esperado calcula-se pela série:

$E[X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}p(x_{i})$

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade $f(x)$:

$E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

$E[g(X)]=\sum _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p(x_{i})$

e

$E[g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)dx$

Deve-se notar que, no caso geral, $\mathbf {E}$ não comuta com a função g, ou seja:

$E[g(X)]\neq g(E[X])$

Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão

Para o caso mais geral de $\mathbf {X}$ ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com $\mathbf {g}$ assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

$E[\mathbf {g} (\mathbf {X} )]=\sum _{i=1}^{\infty }p(\mathbf {x_{i}} )\mathbf {g} (\mathbf {x_{i}} )$

e

$E[\mathbf {g} (\mathbf {X} )]=\int _{\Omega }\mathbf {g} dP$, em que a integral de Lebesgue é usada.

Exemplos

• a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
• a variável aleatória X dada por $p(X=(-10)^{n})=(1/2)^{n}$ para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
• Seja um vetor aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as variáveis aleatórias $Y_{1},...,Y_{n}$. A esperança de Y, $E[Y]$, é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das variáveis aleatórias que compunham Y. Ou seja,

$Y={\begin{bmatrix}Y_{1}\\\vdots \\Y_{n}\end{bmatrix}}\rightarrow E[Y]={\begin{bmatrix}E[Y_{1}]\\\vdots \\E[Y_{n}]\end{bmatrix}}$.

Propriedades do valor esperado

Nas seguintes propriedades, $X,Y$ são variáveis aleatórias, $a,b,c$ são constantes.

$E(a)=a$

$E(a+X)=a+E(X)$

$E(bX)=bE(X)$

$E(a+bX)=a+bE(X)$

Sejam: x o vetor aleatório N X 1 com valor esperado E(X) e variância $\sigma ^{2}\cdot I$ ; A uma matriz quadrada genérica de dimensão N x X; tr(A) o traço da matriz A. Então, a esperança da variável ao quadrado será:

$E(X^{2})=E(x^{T}Ax)=Var(X)\cdot tr(A)+[E(X)]^{T}\cdot A\cdot E(X)$

E para duas variáveis aleatórias:

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

$E(a+bX+cY)=a+bE(X)+cE(Y)$

Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.

Operador esperança

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

$E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

Esperança do produto

No caso geral, temos que

$E[XY]\neq E[X]E[Y]$

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

$E[XY]=E[X]E[Y]$

Esperança condicional

Seja uma variável aleatória $X:{\color {Red}\Omega }\rightarrow \mathbb {R}$ e uma sigma-álgebra ${\color {Magenta}\tau }$ no espaço amostral ${\color {Red}\Omega }$. A esperança condicional de X, dado ${\color {Magenta}\tau }$, é a variável aleatória $Z:{\color {Red}\Omega }\rightarrow \mathbb {R}$ tal que

$Z=E\left[X|{\color {Magenta}\tau }\right]$ $=\sum _{i=1}^{n}x_{i}P\left[X=x_{i}|{\color {Magenta}\tau }\right]$.

Esta variável Z tem as seguintes propriedades:

• Z não contém mais informação que a contida em ${\color {Magenta}\tau }:\sigma \left(Z\right)\subset {\color {Magenta}\tau }$. Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função) $\varpi \rightarrow Z\left(\varpi \right)$ é mensurável com relação a ${\color {Magenta}\tau }$ (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a ${\color {Magenta}\tau }$)
• Z satisfaz a relação $E(X(\varpi ).I_{A})$ $=E\left[Z\left(\varpi \right).I_{A}\right]\forall A\in {\color {Magenta}\tau }$, onde $I_{A}$ é uma variável indicadora, que vale 1 se $\varpi \in A$ e 0 se $\varpi \not \in A$.