Dedekind-infinito

Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu "infinito" dessa maneira no seu famoso artigo de 1888 O que são e o que precisam ser os números.

Definição e exemplos

Dado um conjunto A, dizemos que A é Dedekind-infinito se A é equipotente a B, com B⊆A e B≠A. Pela definição de equipotência, isso significa que existe uma função bijetiva entre A e B.

Como exemplo, consideremos o conjunto do números naturais $\mathbb {N}$ e a função $f$

$f:\mathbb {N} \rightarrow {\mathbb {N} }^{+},\;\;\;\;\;{\mbox{tal que}}\;\;\;f(n)=n+1.$

Onde ${\mathbb {N} }^{+}$ é o conjunto dos inteiros positivos: ${\mathbb {N} }^{+}={\mathbb {N} }-\{0\}$. Portanto, o conjunto dos números naturais é Dedekind-infinito. Para um outro exemplo, considere o intervalo fechado $\;\;\left[0{,}\;2\right]$ em $\mathbb {R}$ e a função:

$f:\left[0{,}\;2\right]\rightarrow \left[0{,}\;1\right],\;\;\;\;\;{\mbox{tal que}}\;\;\;f(x)={\frac {x}{2}}$.

Portanto, o intervalo $\left[0{,}\;2\right]$ é Dedekind-infinito.

Propriedades básicas

As seguintes propriedades podem ser demonstradas em ZF sem o axioma da escolha.

• Se A é Dedekind-infinito, então A é infinito.
• Se B é Dedekind-finito e A⊆B, então A é Dedekind-finito. Portanto, se A é Dedekind-infinito e A⊆B, então B é Dedekind-infinito.
• Todo conjunto enumerável é Dedekind-infinito.
• Um conjunto A é Dedekind-infinito se e somente se A tem um subconjunto enumerável.
• Se $A$ é Dedekind-infinito, então ${\mathcal {P}}\left(A\right)$ é Dedekind-infinito.
• Se $A$ é infinito, então ${\mathcal {P}}\left({\mathcal {P}}(A)\right)$ é Dedekind-infinito.

Dedekind infinito e o axioma da escolha

O axioma da escolha implica ZF a recíproca das proposições acima:

• Se A é infinito, então A é Dedekind-infinito.
• Se ${\mathcal {P}}\left(A\right)$ é Dedekind-infinito, então $A$ é Dedekind-infinito.

Mas essas proposições não podem ser demonstradas sem o axioma da escolha, se ZF é consistente.

Bibliografia

• Dedekind, Richard (1932). «Was sind und was sollen die Zahlen?». Gesammelte mathematische Werke (em alemão). III. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. p. 335−391 
• Hrbacek, Karen; Jech, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. New York: Marcel Dekker 
• Jech, Thomas (1973). The axiom of Choice (em inglês). Amsterdam: Elsevier 
• Levy, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover