Uma ponte browniana é um processo estocástico de tempo contínuo cuja distribuição de probabilidade é a distribuição de probabilidade condicional de um processo de Wiener (um modelo matemático do movimento browniano) sujeito à condição de que , de modo que o processo esteja fixado na origem tanto em , como em .[1] Mais precisamente,

Movimento browniano fixado nos dois extremos. Aqui se usa uma ponte browniana.

O valor esperado da ponte é zero, com variância , implicando que a maior incerteza está no meio da ponte, com zero incerteza nos nós. A covariância de e é se . Os incrementos na ponte browniana não são independentes

Relação com outros processos estocásticos

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Se   for um processo de Wiener padrão, isto é, se para  ,   for normalmente distribuído com valor esperado 0 e variância   e os incrementos forem estacionários e independentes, então

 

é uma ponte browniana para  . Isto é independente de  .[2]

Reciprocamente, se   for uma ponte browniana e   for uma variável aleatória normal padrão independente de  , então o processo

 

é um processo de Wiener para  . De forma mais generalizada, um processo de Wiener   para   pode ser decomposto em

 

Outra representação da ponte browniana baseada no movimento browniano é, para  ,

 

Reciprocamente, para  ,

 

A ponte browniana pode também ser representada como uma série de Fourier com coeficientes estocásticos, conforme

 

em que   são variáveis aleatórias normais padrão independentes e identicamente distribuídas, como exposto pelo teorema de Karhunen-Loève.

Uma ponte browniana é o resultado do teorema de Donsker na área dos processos empíricos. Também é usado no teste Kolmogorov–Smirnov na área de inferência estatística.

Considerações intuitivas

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Um processo de Wiener padrão satisfaz a condição  , sendo portanto "amarrado" à origem, mas os outros pontos não são restritos. Em um processo de ponte browniana , por outro lado, não só  , mas também se exige que  , isto é, que o processo esteja "amarrado" em   da mesma forma. Assim como uma ponte é sustentada por pilares nos dois extremos, exige-se que uma ponte browniana satisfaça condições nos dois extremos do intervalo  . Em uma ligeira generalização, exige-se que   e  , em que  ,  ,   e   são constantes conhecidas.[3]

Suponha que foi gerada uma quantidade de pontos  ,  ,  ,    de um caminho de processo de Wiener por simulação de computador. Deseja-se preencher espaços com pontos adicionais no intervalo  , isto é, fazer a interpolação entre os pontos já gerados   e  . A solução é usar uma ponte browniana, da qual se exige que vá pelos valores   e  .

Caso geral

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Para o caso geral em que   e  , a distribuição de   no tempo   é normal, com média

 

e covariância entre   e  , com  ,

 [3]

Referências

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  1. Glasserman, Paul (9 de março de 2013). Monte Carlo Methods in Financial Engineering (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9780387216171 
  2. Mansuy, Roger; Yor, Marc (16 de setembro de 2008). Aspects of Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540499664 
  3. a b Revuz, Daniel; Yor, Marc (29 de junho de 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662217269