2个相互独立的标准布朗桥
标准布朗桥(英語:Brownian bridge)是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程, 在0和1处取值为0.
注意不要和布朗运动混淆。
布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动(此处仅为意译)。
非标准的 布朗桥 只是在条件
下一般化的布朗桥。
标准的布朗桥
为一个连续时间上的 随机过程 ,它的分布为在条件
下的维纳过程 (Wiener Process)。
它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量
在条件
下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画:
![{\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e788c8acbd8b5d7497d4ee76500f7783cd275a)
![{\displaystyle \forall 0\leq s<t\leq 1,\,\,cov(B_{s},B_{t}|B_{1}=0)=s(1-t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd74724373283b385bbfd420b8e5bd9f82c55ff)
定义的备注
事件
的概率为0。 考虑满足
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B_{1}|<\varepsilon ]>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bc208c5af0729bc565ecc9311d9b57a3737613)
的事件
,
我们可以考察条件分布
。 由依分布收敛 可得:
![{\displaystyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e992ae9e7575427575acf99626435b1bf037a339)
这给出了布朗桥的一个严格定义。
性质1
设
为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程
:
![{\displaystyle \displaystyle B_{t}=W_{t}-tW_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ced2a8f5995092a5f7ff88df8596178ce9c12e)
为一个标准的布朗桥。
相互定义
设
为一个标准的布朗桥, Z 是一个正态随机变量,则过程
et
:
et ![{\displaystyle W_{t}^{2}=B_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643abaf1dbe8532bd17b87ffb4af29ed7320c282)
为
和
上的维纳过程。
性质 2
设
为一个 维纳过程, 则过程
:
![{\displaystyle B_{t}=(1-t)W_{\frac {t}{1-t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d485f7dc350217324a277be485a7f6916f5ec6)
为一个标准布朗桥。
相互定义
设
为一个标准的布朗桥, 那么过程
:
![{\displaystyle W_{t}=(1+t)B_{\frac {t}{1+t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a3fd0e6b38f31faac36d5f132d5670769dc94d)
为一个维纳过程。
也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上, 如果
是一种标准的布朗桥,随机方程
![{\displaystyle dX_{t}=dW_{t}-{\frac {X_{t}}{1-t}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836004d6f75ba8b223cdf79a6fbccb16c8c14a14)
初始条件
的解和布朗桥同分布。
事实上,
是一个 马氏过程,这个从布朗桥的定义中不容易看出。
设
为标准的布朗桥。
性质3
设 b 为一个实数,
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f8566322a28649bbff37f50d74ec3993a8e9ba)
性质4
设 b 为一个正实数
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a22ca0d455dae988eb813b31540a8d31105c2c)
性质 5
设a et b 为2个正实数.
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d505db123f4470e044b901d00b80fe63a60873c)
性质6
设 x 为一个正实数
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4860b51e977d52fbd29d34c2afa84f0dd8f34714)