Wzór sumacyjny Eulera

Wzór sumacyjny Eulera (ang. Euler’s summation formula) – tożsamość stosowana w analitycznej teorii liczb. Podobnie jak wzór sumacyjny Abela, pozwala on wyrazić dyskretną sumę wartości danej funkcji różniczkowalnej przez całkę. Wzór ten został przedstawiony przez Leonharda Eulera w 1736 r., a następnie uogólniony. Jest to szczególny przypadek wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina.

Treść twierdzenia

Niech dane będą liczby $0<y\leqslant x$ oraz funkcja $f$ różniczkowalna na przedziale $[y,x].$ Wówczas

$\sum _{y<n\leqslant x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt-\{x\}f(x)+\{y\}f(y),$

gdzie suma po lewej stronie jest po wszystkich liczbach całkowitych $n\in (y,x],$ a $\{t\}$ oznacza część ułamkową liczby $t.$

Dowód. Oznaczając $F(x)=[x]=x-\{x\},$ sumę po prawej możemy wyrazić jako całkę Riemanna-Stieltjesa

$\sum _{y<n\leqslant x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)dF(t)=\int _{y}^{x}f(t)dt-\int _{y}^{x}f(t)d\{t\}.$

Drugą z nich możemy wyrazić całkując przez części,

$\int _{y}^{x}f(t)d\{t\}=\{x\}f(x)-\{y\}f(y)-\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt.$

Stąd wynika wzór Eulera.

Przykłady

Szereg harmoniczny

Niech

$S(x)=\sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n}}.$

Udowodnimy, że

$S(x)=\log x+\gamma +O\left({\frac {1}{x}}\right),$

gdzie $\log$ to logarytm naturalny, a $\gamma$ to stała Eulera-Mascheroniego. Dla $x\geqslant 1$ zachodzi

$S(x)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}-\int _{1}^{x}\{t\}{\frac {dt}{t^{2}}}+{\frac {\{x\}}{x}}+1=\log x-I(x)+1+O\left({\frac {1}{x}}\right),$

gdzie:

$I(x)=\int _{1}^{x}\{t\}{\frac {dt}{t^{2}}}.$

Zauważmy, że przy $x\to \infty$ całka $I(x)$ jest zbieżna. Dlatego możemy zapisać

$I(x)=\int _{1}^{\infty }\{t\}{\frac {dt}{t^{2}}}-\int _{x}^{\infty }\{t\}{\frac {dt}{t^{2}}}=I-\int _{x}^{\infty }\{t\}{\frac {dt}{t^{2}}}=I+O\left(\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t^{2}}}\right)=I+O\left({\frac {1}{x}}\right),$

gdzie $I=\lim _{x\to \infty }I(x).$ To dowodzi, że

$S(x)=\log x+1-I+O\left({\frac {1}{x}}\right),$

gdzie stała $1-I$ jest z definicji równa

$1-I=\lim _{x\to \infty }(S(x)-\log x)=\gamma .$

To dowodzi podanej zależności.

Wzór Stirlinga

Wykażemy prawdziwość wzoru Stirlinga w postaci

$\lfloor x\rfloor !=C{\sqrt {x}}x^{x}e^{-x}\left(1+O\left({\frac {1}{x}}\right)\right)$

dla pewnej stałcej $C,$ gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza podłogę z liczby $x$. Skorzystamy z postaci silni jako sumy częściowej logarytmów naturalnych,

$\lfloor x\rfloor !=\exp(\log(\lfloor x\rfloor !))=\exp \left(\sum _{n\leqslant x}\log n\right).$

Ze wzoru sumacyjnego Eulera zachodzi

$\sum _{n\leqslant x}\log n=\int _{1}^{x}\log t\;dt+\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t}}dt-\{x\}\log x.$

Pierwsza całka wynosi

$\int _{1}^{x}\log t\;dt=\left.t(\log t-1)\right|_{1}^{x}=x\log x-x+1.$

W przypadku drugiej całki zdefiniujemy funkcję pomocniczą ${\textstyle \rho (t)={\frac {1}{2}}-\{t\}.}$

$\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t}}dt=\int _{1}^{x}{\frac {1}{2t}}dt-\int _{1}^{x}{\frac {\rho (t)}{t}}dt=I_{1}(x)-I_{2}(x).$

Widzimy, że

$I_{1}(x)={\frac {1}{2}}\log x.$

W przypadku $I_{2}(x)$ skorzystamy z całkowania przez części.

$I_{2}(x)=\left.{\frac {R(t)}{t}}\right|_{1}^{x}+I_{3}(x),$

gdzie:

$R(x)=\int _{1}^{x}\rho (t)dt$

oraz

$I_{3}(x)=\int _{1}^{x}{\frac {R(t)}{t^{2}}}dt.$

Ponieważ funkcja $\rho$ jest okresowa, z okresem 1, i ${\textstyle |\rho (x)|\leqslant {\frac {1}{2}},}$ to ${\textstyle |R(x)|\leqslant {\frac {1}{2}}.}$ Dlatego

$\left.{\frac {R(t)}{t}}\right|_{1}^{x}=O\left({\frac {1}{x}}\right).$

Dodatkowo, wynika stąd, że całka $I_{3}(x)$ jest ograniczona z góry,

$I_{3}(x)\leqslant \int _{1}^{x}{\frac {|R(t)|}{t^{2}}}dt\leqslant {\frac {1}{2}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t^{2}}}-\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}+O\left({\frac {1}{x}}\right).$

Powyższe nierówności są prawdziwe, ponieważ całka po ${\textstyle t^{-2}}$ jest zbieżna.

Łącząc uzyskane zależności, otrzymamy

$\sum _{n\leqslant x}\log n=x\log x-x+{\frac {1}{2}}\log x+c+O\left({\frac {1}{x}}\right).$

Biorąc $\exp$ obu stron, uzyskamy wzór.

Funkcja zeta Riemanna

Udowodnimy, że funkcja zeta zdefiniowana za pomocą szeregu

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

dla wszystkich liczb zespolonych $s$ o części rzeczywistej $\Re (s)>1$ spełnia zależność

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt.$

Biorąc $f(n)=n^{-s},$ otrzymamy

$\sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n^{s}}}=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{s}}}-s\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt-{\frac {\{x\}}{x^{s}}}+1.$

Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby $x\to \infty .$ Widzimy, że

$\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{s}}}={\frac {1-x^{1-s}}{s-1}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{x^{s-1}(s-1)}}={\frac {1}{s-1}}.$

Stąd

$\zeta (s)=1-{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt$

dla $\Re (s)>1.$

Bibliografia

• Adolf J.A.J. Hildebrandt Adolf J.A.J., Introduction to Analytic Number Theory, Math 531 Lecture Notes [online], University of Illinois Department of Mathematics, 2005 [dostęp 2013-01-07]  (ang.).