Wikipedysta:Henryk Tannhäuser/zonk

Logika modalna – zespół teorii logicznych, które badają pojęcia modalne, w tym zwłaszcza pojęcia możliwości i konieczności – same pojęcia modalne zdefiniować można wstępnie jako wyrażenia używane do kwalifkacji prawdziwości sądów. Logika modalna charakteryzuje pojęcia modalne wychodząc z rozwijanego w filozofii Gottfrieda Wilhelma Leibniza pojęcia możliwych światów: w ujęciu Leibniza konieczne jest to, co prawdziwe jest we wszystkich możliwych światach, możliwe to, co prawdziwe jest w przynajmniej jednym możliwym świecie.

Często termin "logika modalna" rozumie się szerszej, włączając w jego obręb m.in. logiki epistemiczne, logiki temporalne, logiki deontyczne, logiki programów. Wężej rozumianą logikę modalną, zajmującą się jedynie pojęciami modalnymi dotyczącymi prawdy, określa się z tego względu jako „logiki modalne aletyczne”, „logiki modalne stanardowe”, „logiki modalne normalne”. Pojęcia modalne występujące w innych logikach modalnych omówione zostaną w odpowiednich rozdziałach.

Wiele spośród tych teorii logicznych znalazło szerokie zastosowanie w filozofii i w informatyce.

Do najczęściej wyróżnianych i badanych w szeroko rozumianej logice modalnej pojęć modalnych należą (trzeba zwrócić uwagę na to, że pojęcia modalne zostały w poniższym wykazie ujęte jako funktory zdaniotwórcze; podano też typowe oznaczenia):

• W wąsko rozumianej logice modalnej
  • Konieczność, oznaczana przez □ – Jest konieczne, że…
  • Możliwość, oznaczana przez ◊ - Jest możliwe, że…
• W logice deontycznej
  • Nakaz, oznaczany przez O – Jest obowiązkiem, żeby…
  • Przyzwolenie, oznaczane przez P – Jest dozwolone, żeby…
  • Zakaz, oznaczany przez F – Jest zakazane, żeby…
• W logice temporalnej
  • G - Zawsze będzie tak, że…
  • F – Będzie tak, że…
  • H – Zawsze było tak, że…
  • P –Było tak, że…
• W logice epistemicznej
  • Bx – x wierzy, że…

Wprowadzenie historyczne

Logika modalna uprawiana była już przez Arystotelesa jako sylogistyka zdań modalnych. Ten bardzo rozwinięty w logice średniowiecznej system był zbliżony do sylogistyki zdań asertorycznych, z tą różnicą, że przynajmniej jedna przesłanka każdego sylogizmu musiała być zdaniem modalnym, tj. problematycznym (zawierającym funktor możliwości) lub apodyktycznym (zawierającym funktor konieczności). Ze względu na to jakimi zdaniami były przesłanki, sylogizmy modalne podzielone były odpowiednio na osiem grup. Tak jak w sylogistyce zdań asertorycznych, sylogizmy dzieliły się na tryby i figury. Nie każdemu poprawnemu modalnemu trybowi sylogistycznemu odpowiadał jednak poprawny asertoryczny tryb sylogistyczny. Ponadto sylogistyka modalna była systemem nie w pełni ukończonym.

Podstawową współczesną postacią logiki modalnej jest modalny rachunek zdań. Od klasycznego rachunku zdań modalny rachunek zdań odróżnia przede wszystkim występowanie w nich funktora możliwości, oznaczanego $\Diamond \$, i funktora konieczności, oznaczanego przez $\Box$. Twórcą pierwszych systemów modalnego rachunku zdań (nazwanych później S2 i S3) jest C. I. Lewis. Następnie powstało jeszcze kilka innych systemów – pozostałe z 5 systemów Lewisa (łącznie S1-S5), Kripkego (K), Feyesa (T), von Wrighta (M). Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco:

$p\rightarrow q=_{df}\neg \diamond (p\land \neg q)$

Obecnie systemy rachunku modalnego tworzy się przede wszystkim ze względu na badanie pojęć modalnych, nie ze względu na poszukiwanie bardziej właściwego ujęcia pojęcia implikacji. Występując w nich funktory modalne są funktorami zdaniowymi, co jest główną różnicą między rachunkiem modalnym a sylogistyką modalną – w sylogistyce modalnej występowały one wewnątrz zdań, mówiła więc ona o konieczności/możliwości przysługiwania przedmiotom cech (modalność de re), nie o konieczności/możliwości zachodzenia stanów rzeczy (modalność de dictu).

Sylogistyka zdań modalnych

Struktura sylogistyki zdań modalnych jest bardzo podobna do struktury sylogistyki zdań asertorycznych. Sylogizm modalny tylko tym różni się od asertorycznego pod względem budowy, że co najmniej jedna jego przesłanka musi być zdaniem modalnym, tj. problematycznym apodyktycznym lub problematycznym. Zdania apodyktyczne to takie zdania, które mówią o konieczności, zdania problematyczne mówią zaś o możliwości. Ten stworzony przez Arystotelesa system rekonstruuje się przede wszystkim na podstawie Analityk pierwszych.

Sylogizmy modalne dzielą się na osiem grup:

I - obie przesłanki apodyktyczne

II - przesłanka większa apodyktyczna, przesłanka mniejsza asertoryczna

III - przesłanka większa asertoryczna, przesłanka mniejsza apodyktyczna

IV - obie przesłanki problematyczne

V - przesłanka większa problematyczna, przesłanka mniejsza asertoryczna

VI - przesłanka większa asertoryczna, przesłanka mniejsza problematyczna

VII - przesłanka większa problematyczna, przesłanka mniejsza apodyktyczna

VIII - przesłanka większa apodyktyczna, przesłanka mniejsza problematyczna

W każdej grupie sylogizmy dzielą się na tryby i figury sylogistyczne takie, jak w sylogistyce zdań asertorycznych. Są jednak przy tym takie tryby sylogistyczne, które w sylogistyce modalnej są poprawne, w asertorycznej zaś nie są.Sam Arystoteles rozważał jednak jedynie 5 kombinacji różnych przesłanek. Ponadto ilość możliwych kombinacji zwiększa charakterystyka wniosków, które także mogą być konieczne, możliwe lub asertoryczne. Pełna lista kombinacji przesłanek i wniosków o różnych modalnościach obejmuje 27 wypadków, lista tych, w których współczesne rekonstrukcje logiki modalnej znalazły poprawne sylogizmy obejmuje 12 wypadków.

Kategorycznych i problematycznych zdań modalnych istnieje więc osiem grup (podano uproszczoną intterpretację):

1. SamP -Każde S jest koniecznie P
2. Simp - Niektóre S są koniecznie P
3. SemP - Żadne S koniecznie nie jest P
4. SomP - Niektóre S koniecznie nie są P
5. SamP - Każde S może być P
6. Simp - Niektóre S może być P
7. SemP - Żadne S może nie być P
8. SomP - Niektóre S może nie być P

Rolę aksjomatów systemu pełnią pierwsze cztery tryby pierwszej figury wszystkich grup prócz grupy VI i VIII. Inne sylogizmy dowodzone są albo przez metody sylogistyki zdań asertorycznych, jak np. konwersja, albo specyficznymi metodami sylogistyki modalnej, jak np. podstawianie problematycznych zdań przeczących za problematyczne zdania twierdzące o tych samych terminach. Szczegółowa interpretacja metodologii sylogistyki modalnej budzi jednak spory i często musi być przedmiotem rekonstrukcji historycznej. Szczegółowe prawa konwersji przedstawiają się wedłuhg Arystotelesa następująco:

Prawa konwersji dla zdań apodyktycznych:

1. SekP → PekS
2. SakP → PikS
3. SikP → PikS
4. SokP - nie odwraca się

Prawa konwersji dla zdań problematycznych

1. SemP → PemS
2. SamP → PimS
3. SimP → PimS
4. SomP - nie odwraca się

Ponadto zachodzą następujące zależności dotyczące wynikania i sprzeczności:

Wynikania:

1. SakP → SikP
2. SekP → SokP
3. SamP → SimP
4. SemP → SomP

Sprzeczności:

1. SakP → ~SomP
2. SekP → ~SimP
3. SamP → ~SokP
4. SemP → ~SikP

W literaturze przedmiotu spotyka się drobne odmienności wobec podanego odczytania praw konwersji i zależności dotyczących sprzeczności i wynikania.

Niejasne jest znaczenie, które Arystoteles, twórca systemu, przypisywał samym funktorom modalnym należy do głównych przyczyn krytyki, z jaką spotkał się ten system. Niektórzy, jak Czesław Lejewski, doceniali jej znaczenie dla logiki tradycyjnej, inni jednak, jak Jan Łukasiewicz, oceniali ją bardzo krytycznie. Nie jest jasne, czy (umieszczane przez Arystotelesa w środku zdania) określenie modalności odnosi się do całości zdania, czy do jego części (podmiotu/orzeczenia). Nie jest też jasne, czy miał na myśli modalność de dictu, czy modalność de re.

Logiki modalne standardowe

Modalności aletyczne

Modalny rachunek zdań bazuje na klasycznym rachunku zdań: klasyczny rachunek zdań jest w całości zawarty we wszystkich szerzej znanych z jego systemów. Istnieje przy tym wiele takich systemów, o różnych aksjomatach i regułach wynikania, a także systemy zbudowane w sposób inny niż aksjomatyczny. Systemy te łączy obecność w nich intensjonalnych funktorów zdaniowych, przede wszystim operatora mozliwości (oznaczanego przeważnie symbolem $\diamond$ lub symbolem M) i operatora konieczności (oznaczanego przeważnie przez $\square$ lub symbolem L). W odróżnieniu od funktorów sylogistyki modalnej, funktory te mają wyraźny charakter zdaniotwórczy. Posiadają przy tym zawsze jeden argument zdaniowy. W języku naturalnym znajdować mogą się w różnych miejsach zdania, podobnie jak w przypadku negacji ich charakter widoczny jest jednak w pełni dopiero, kiedy zdania podda się pewnemu przeformułowaniu (np. zamiast "Sokrates musi być różowy" - "Jest konieczne, że Sokrates jest różowy"; zamiast "Sokrates może być androidem" - "Jest możliwe, że Sokrates jest androidem").

Wyrażenia "musi" i "może", nawet ujęte tak, że ich charakter funktorów zdaniotwórczych jest wyraźny, są niezwykle wieloznaczne. Stanowią przedmiot bardzo intensywnej analizy filozoficznej, ich analiza obejmuje znaczną część filozofii współczesnej. Wśród wielu znaczeń konieczności odróżniać można np. konieczność moralną i konieczność faktyczną. Jeśli rozpatrywać konieczność moralną, zdarzyć się może tak, że zdanie $\square p$ jest prawdziwe, zdanie p zaś fałszywe - nie zawsze bowiem ludzie czynią rzeczywiście to, co jest konieczne moralnie. Poszczególne systemy logiki modalnej powstawały niejednokrotnie z inspiracji filozoficznej i miały oddawać zaspakajać określone filozoficzne potreby formalizacji pojęć - dlatego też wielość rozumień i znaczeń pojęć modalnych jest jedną z głównych przyczyn wielości systemów logiki modalnej. Przykładem takiej wielości mże być fakt, że w pewnych systemach zdanie $\square p\rightarrow p$ (sprzeczne z podaną poprzednio chrakterystyką konieczności moralnej) jest tezą systemu, w innych zaś nie. Nie można więc mówić o jednym rozumieniu pojęć modalnch w logikach modalnych - wszystkie jednak łączy to, że pojęcia te nie są ekstensjonalne, tj. wartość logiczna zdań złożonych z funktora modalnego i jego argumentu może zależeć nie od wartości logicznej tego argumentu, ale od jego treści.

Logika modalna standardowa bada modalności zdaniowe, dotyczące funktorów - modalności mogą dotyczyć jednak nie tylko samych funktorów, ale też wielu innych rodzajów wyrażeń. Zalążkiem pojęcia funktora modalnego jest w logice tradycyjnej "modus" (gr. propos). Logika tradycyjna nie znała jeszcze pojęcia kwantyfikatora, wiązała jednak pojęcie konieczności z ogólnością, pojęcie możliwości zaś ze szczegółowością. Modalności logiki tradycyjnej powiązane były przy tym nie tylko z kwantyfikacją, ale także z prawdą: łącznie z funktorem asercji modalności odczytywane były bowiem jako "jest koniecznie prawdziwe, że..." i "jest mozliwie prawdziwe, że...". Z tego właśnie rozumienia modalności wywodzi się współczesne rozumienie funktorów aletycznych. Wśród innych niż funktory modalne pojęć modalnych wyróżnić można nazwy modalne, zdania i sądy modalne, deskrypcje modalne, modalne systemy, stany rzeczy, wartości, cechy, przedmioty, światy i sposoby istnienia. Tak np. modalnymi są cechy akcydentalne (jako możliwe dla danego przedmiotu) i atrybuty (przysługują mprzedmiotom w sposób konieczny); zdania modalne to zdania w których występuje funktor mozliwości; jako modalne określić można światy możliwe; szczególnej wagi w filozofii nabrała podniesiona przez Immanuela Kanta problematyka sądów modalnych - według Kanta kategoria modalności obejmuje stosunek sądów do władz poznawczych, a ze względu na rodzaj tego stosunku wyróżnić można sądy apodyktyczne, asertoryczne i problematyczne.

Problematyka ontologiczna światów możliwych

Logiki modalne niejednokrotnie wiążą się z pewnymi ontologiami - teorie ontologiczne mogą stanowić ich inspiracje, względnie na podstawie analiz systemów logiki modalnej można budować pewne ontologie. Kluczowe znaczenie ma tu pojęcie ontologiczne światów możliwych.

Podstawowym zagadnieniem ontologicznym dotyczącym światów możliwych jest problem ich statusu ontycznego. Należy tu zaznaczyć, że rozumienie świata możliwego jako paralelnej wobec świata aktualnego rzeczywistości jest powszechnie odrzucane. Naiwne rozumienie światów możliwych krytykował zwłaszcza Saul Kripke. Inne zagadnienia to m.in. status ontyczny przedmiotów w światach możliwych (czy są one abstrakcyjne, czy konkretne; realne, idealne czy intencjonalne); granice światów możliwych względem uniwersum (czy obejmują one wszystko, cokolwiek da się pomyśleć, skonstruować lub wyrazić); stosunek światów możliwych do świata aktualnego - to, czy jedynie świat aktualny istnieje, a światy możliwe są jedynie tzw. światami surogatami, czy też może światy możliwe określać należy jako modyfikacje świata aktualnego, względnie światy całkowicie niezależne.

Można wyróżnić trzy główne sposoby traktowania światów możliwych: podejście językowe, podejście rzeczowe i podejście epistemiczne. Według stanowiska epistemicznego światy możliwe to przedmioty pewnych procesów intelektualnych - głównym reprezentantem tego nurtu jest Jaakko Hintikka. Według podejścia językowego, reprezentowanego przede wszystkim przez Rudolfa Carnapa, światy możliwe opisywalne są za pomocą deskrypcji, na które nakłada się pewne wymagania. Wiele wersji ma natomiast stanowisko rzeczowe. Świat możliwy traktować można jako system stanów rzeczy; system indywiduów określonych przez modalne charakterystyki cech i sposobów istnienia; spspoby istnienia określonych przedmiotów; system "przedmiotów Meinongowskich" określony przez ontologię Meinonga. Podejście językowe jest najmniej zaangażowane ontologicznie, w charakterystyce światów modalnych nie wychodzi się tu poza formalną charakterystykę świata możliwego w dedukcyjnych systemach modalnych. Prócz teorii Carnapa przykładem może tu być niezinterpretowana semantyka Kripkego. Najsilniej zaangażowane są poglądy, w których światy możliwe uznaje siię za przynależące do rzeczywistości przedmiotowej, nie językowej.

Język standardowej logiki modalnej

Typowo przedstawiony język logiki modalnej obejmuje następujące wyrażenia proste:

1. Litery p, q, r, s…, interpretowane jako zmienne zdaniowe w nieograniczonej ilości. Nieskończony zbiór wszystkich zmiennych zdaniowych oznaczamy V.
2. Dwie stałe zdaniowe: $\top$ i $\bot$
3. Jedna stała relcyjna, oznaczana R
4. Symbole funktorów zdaniowych: $\neg$, $\lor$, $\land$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\square$, $\diamond$, z których 5 pierwszych interpretuje się jako ekstensjonalne funktory zdaniotwórcze (odp. negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i rownowazności).
5. Znaki pomocnicze: nawiasy ( i )

Tak samo jak w klasycznym rachunku zdań, można ograniczyć ilość ekstensjonalnych funktorów zdaniotwórczych, np. tylko do dysjunkcji. [Relacyjne defincje modalnych].

Formułą SLM jest dowolny ciąg wyrażeń prostych SLM. Formułą dobrze zbudowaną SLM (dalej nazywaną formułą) jest ciąg wyrażeń SLM, który spełnia następujące warunki:

1. Zmienne zdaniowe oraz stałe zdaniowe są formułami
2. Jeśli α i β są formułami, to formułami są $\neg \alpha$, $\alpha \lor \beta$, $\alpha \land \beta$, $\alpha \rightarrow \beta$, $\alpha \leftrightarrow \beta$, $\square \alpha$, $\diamond \alpha$
3. Każda złożona formuła zdaniowa powstaje przez zastosowanie reguły 2 skończoną ilość razy

Podstawowe aksjomaty i reguły interferencji

Typowe aksjomaty systemów logiki modalnej, noszące stale przypisane im nazwy (często stanowiące pierwsza literę nazwiska twórcy lub w jakiś inny sposób związne z dziejami logiki modalnej) to aksjomaty K, T, KB K4 i D oaz definicja możliwości. Nie wszystkie z nich występują we wszystkich systemach. Poza aksjomatami specyficznymi logiki modalnej w skład aksjomatyki logiki modalnej wchodzić muszą zawsze także aksjomatyki klasycnego rachunku zdań.

• Aksjomat K: $\square (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\square \alpha \rightarrow \square \beta )$
• Aksjomat T: $\square \alpha \rightarrow \alpha$
• Aksjomat KB: $\alpha \rightarrow \square \neg \square \neg \alpha$
• Aksjomat K4: $\square \alpha \rightarrow \square \square \alpha$
• Aksjomat D: $\square \alpha \rightarrow \neg \square \neg \alpha$
• Definicja możliwości: $\diamond \alpha =df\neg \square \neg \alpha$

Do najczęstszych w systemach logiki modalnej reguł intereferencji należą natomiast reguła odrywania, reguła podstawiania oraz reguła dołączania konieczności (Gödla) o postaci:

$\qquad {\frac {\alpha }{\square \alpha }}$

Spośrod najszerszej znanych systemów następujące zawierają nastepujące aksjomaty:

• System K: aksjomat K
• System T: aksjomaty K i T
• System K4: aksjomaty K i K4
• System D: aksjomaty K i D
• System B: aksjomaty K, T i KB
• System S4: aksjomaty K, T i K4
• System S5: aksjomaty K, T, KB i K4

Semantyka

[coś w tym stylu wst.] System dedukcyjny dla danego języka to zespół aksjomatów i reguł inferencji dzięki którym możliwe jest dowodzenie że dane zdanie stanowi tezę tego systemu. System powinien być adekwatny, t.j. każda teza dowiedziona za pomocą reguł inferencji i aksjomatów powinna rzeczywiście być tautologią. System powinien być także pełny, co znaczy że dla każdej prawdziwej tezy w systemie istnieje dowód. Wykazywanie adekwatności i pełności systemów dedukcyjnych jest jednym z głównych zadań logiki.

Prawdziwość i tautologiczność formuł standardowej logiki modalnej

Ze względu na intensjonalość funktorów definicja prawdziwości dla formuł standardowej logiki modalnej jest o wiele mniej intuicyjna niż dla klasycznego rachunku zdań. Tautologię logiki modalnej zdefiniować można odwołując się do pojęcia modelu Kripkego.

Model Kripkego to para <W, P>

S1-S5: systemy Lewisa

Okoliczności powstania systemów Lewisa podane zostaną w rodziale poświęconym rozwojowi XX-wiecznej matematycznej logiki modalnej. Obecnie omówione zostaną aksjomaty i terminy pierwotne systemów Lewisa.

Terminami pierwotnymi systemu S1 są negacja, koniunkcja i możliwość. Należy jednak zaznaczyć, że Lewis nie używał ciągu operatorów $\neg \diamond \neg$. Nie znał także symbolu $\square$, po raz pierwszy użytego w druku dopiero w 1946. Stosował natomiast stale skrót definicyjny dla oznaczanej specjalnym symbolem implikacji ścisłej, o postaci:

$\alpha -3\beta =def\neg \diamond (\alpha \land \neg \beta )$.

System S1 ma 6 aksjomatów (zmienne zdaniowe oznaczono literami p, q, r..., inne niż spójniki modalności i implikacji ścisłej operatory odpowiadają operatorom klasycznego rachunku zdań):

1. $(p\land q)-3(q\land p)$
2. $(p\land q)-3p$
3. $p-3(p\land p)$
4. $((p\land q)\land r)-3(p\land (q\land r))$
5. $((p-3q)\land (q-3r))-3(p-3r)$
6. $((p\land (p-3q))-3q$

Ponadto przyjmuje on 4 reguły interferencji, tj. regułę jednolitego podstawiania formuł za mienne zdaniowe, regułę dołączania koniuncji (do $\alpha$ i $\beta$ dołączyć można $\alpha \land \beta$), odpowiednik reguły odrywania dla implikacji ścisłej (gdy $\alpha$ jest tezą systemu i $\alpha -3\beta$ jest tezą systemu, to $\beta$ jest tezą systemu) oraz regułę zastępowania ścisłych odpowiedników.

• S2 szerszy jest od S1 o aksjomat: $\diamond (p\land q)-3\diamond p$
• S3 szerszy jest od S1 o aksjomat: $(p-3q)-3(\neg \diamond q-3\neg \diamond p)$
• S4 szerszy jest od S1 o aksjomat: $\diamond \diamond p-3\diamond p$ lub też $\square \square p-3\square p$
• S5 szerszy jest od S1 o aksjomat: $\diamond p-3\square \diamond p$

Systemy S4 i S5 zdobyły większe znaczenie niż systemy S1-S3 m.in. z tego względu, że pozwalają one uniknąć nieintuicyjności pewnych tez najsilniejszego z systemów standardowej logiki modalnej, tj. T.

Logika deontyczna

Logiki deontyczne badają logikę pewnych pojęć modalnych zaczerpniętych z teorii etycznych, które traktują jako nieekstensjonalne funktory zdaniotwórcze. Pierwszy współczesny rachunek deontyczny ogłosił w 1951 G.H. von Wright (Deontic Logic, „Mind” LX 1951), wcześniejsze próby miały charakter fragmentaryczny. Funktory te to „jest obowiązkowe, że” (oznaczane O), „jest dozwolone, że” (oznaczane P), jest zakazane, że” (oznaczane F). Argumentami tych funktorów są zmienne zdaniowe, zwłaszcza w dawniejszych systemach logiki deontycznej zamiast zmiennych zdaniowych wystąpić mogą jednak zmienne reprezentujące abstrakcyjnie rozumiane czyny.

Logiki deontyczne nie stanowią sposobu rozstrzygania problemów etycznych w tym sensie, że nie przynoszą ze sobą pozytywnej wiedzy – mogą natomiast stanowić środek do jaśniejszego ich przedstawiania oraz dla pogłębionej analizy filozoficznej. Fakt ten wiąże się z wielością rachunków deontycznych. Logiki deontyczne stanowią bowiem sformalizowane systemy dedukcyjne o różnym doborze aksjomatów, reguł interferencji i różnych sposobach rozumienia deontycznego terminu pierwotnego.

Słownik

W skład typowego słownika logik deontycznych wchodzą:

1. zmienne zdaniowe w nieograniczonej ilości, oznaczane p, q, r…
2. spójniki klasycznego rachunku zdań – $\neg$, $\lor$, $\land$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
3. stałe deontyczne O, P, F
4. nawiasy

Deinicja formuły zdaniowej

1. Każda zmienna zdaniowa jest formułą zdaniową
2. Jeśli X i Y są formułami zdaniowymi, to ~X, X∨Y, X$\land$Y, X→Y, X$\leftrightarrow$Y, OX, PX, FX
3. Każda złożona formuła zdaniowa powstaje przez zastosowanie skończoną ilość razy reguły 2

Rozwój matematycznej logiki modalnej w XX wieku

Początkowo logika modalna była postrzegana jako badania nad modalnościami aletycznymi, koniecznością i możliwością. Następnie objęła także wiele innych nieekstensjonalnych konstrukcji językowych, dotyczących wiedzy, wiary, pojęć etycznych, wyrażeń temporalnych. Następnie logika modalna znalazła szerokie zastosowanie w informatyce, gdyż umożliwia sformalizowanie wielu własności programów. W dziedzinie semantyki logik modalnych wyształciły się dwie podstawowe semantyki - algebraiczna, w której operatory modalne interpretuje się jako operatory algebry Boolowskiej, oraz semantyka relacyjna, odwołująca się do modelów Kripkego, w skład których wchodzą przede wszystkim możliwe światy.

Początki matematycznej logiki modalnej: MacColl, Gödel, Lewis

Pierwsze próby matematyzacji logiki modalnej podjął pod koniec XIX wieku Hugh MacColl, który opublikował na ten temat szereg artykułów w czasopismie "Mind". Większość z tych artykułów tworzyła serię o nazwie Symbolical Reasoning, powstała także osobna książka. MacColl odmiennie niż Boole traktował zagadnienie wartości logicznych - dla Boole'a istniały diwe wartości logiczne, oznaczane przez O i 1, MacColl natomiast ujmował fałsz (Boolowskie O) jako niemożliwość, prawdę natomiast (Boolowskie 1) jko pewność. Następnie wprowaził także trzecią wartość logiczną, wartość zmienną - zdania o wartości zmiennej nie są ani zawsze prawdziwe, ani zawsze fałszywe. W ten sposób algebra MacColla umożliwiała formalny zapis pojęć modalnych. Współczesne pogłębione analizy historyczne logiki MacColla wykryły w niej duże podobieństwa do późniejszego systemu T.

Systemy MaColla przynależą do wczesnego etapu rozowju logiki matematycznej i nie ma w nich jeszcze jasno sformułowanej definicji formuły, aksjomatów ani reguł inferencji. Pierwszymi w pełni współczesnymi, aksjomatycznymi systemami logiki modalnej są systemy C.I. Lewisa. Lewis w dziele Symbolic Logic (1932) sformułował 5 takich systemów, oznaczanych S1-S5. Przyczyną powstania systemów Lewisa był tzw. paradoks implikacji materialnej: implikacja materialna określona w Prncipia mathematica była według Lewisa głęboko nieintuicyjna, niezgodna z potoczny rozumieniem pojęcia wynikania. Przy takim rozumieniu implikacji ze zdania fałszywego wynika dowwolne zdanie, natomiast zdanie prawdziwe wywieść można z dowolnego innego. Paradoks ten ma postać:

$\neg \alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$ $\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha )$

By uniknąć tego paradoksu, Lewis w dziele A Survey of Symbolic Logic (1918) wprrowadził pojęcie implikacji ścisłej. Ogłoszony w tym dziele system umożliwał definicję implikacji ścisłej rozumianej jako pojęcie implikacji lepiej oddające pojęcie wynikania na gruncie języka naturalnego za pomocą modalnego pojęcia niemożliwości. Po pewnych modyfikacjach ten pierwszy system logiki modalnej stał się systemem S3, Lewis jednak za "właściwy" system dobre ujmujący impplikację ścisłą uznał jednak późniejszy S2. Pełniejsze omówienie systemów Lewisa zostało podane w poświęconych im rozdziałach.

Punktem wyjściowym badań Kurta Gödel nad logikami modalnymi były badania Oskara Beckera nad aksjomatyką S4 i S5. Tak badania Beckera, jak i Gödela dązyły przede wszystkim do uproszczenia logiki modalnej.

Logiki epistemiczne

Logiki epistemiczne badają pojęcia epistemiczne, tj. pojęcia odnoszące się do stanów i aktów poznawczych. Należą do nich m.in. wiedza, wiara

Bibliografia

• Patrick Blackburn, Johan F.A.K. van Benthem, Frank Wolter, Studies in Logic and Practical Reasoning. Handbook of Modal Logic
• Brian F. Chellas, Modal Logic. An Introduction, Cambridge University Press, Cambridge [etc.] 1980
• M.J. Cresswell, G.J. Hughes, A New Introduction to Modal Logic, Routledge, London-New York 1996
• Dov M. Gabbay, John Woods (red.), Handbook of the History of Logic, vol. 7, Logic and the Modalities in the Twentieh Century, Elsevier, Amsterdam (etc.) 2006
• Witold Marciszewski (red.), Mała encyklopedia logiki, Wrocław [etc.] 1970; tu m.in. hasła Logika deontyczna, Logika epistemiczna, Logika modalna
• Urszula Żegleń, Modalność w logice i filozofii. Podstawy ontyczne, seria "Biblioteka Myśli Semiotycznej", Zakład semiotyki logicznej UW - Polskie Towarzystwo Semiotyczne, Warszawa 1990