Punkt osobliwy

Punkt osobliwy – wspólna nazwa kilku pojęć analizy matematycznej; wyróżnia się m.in. punkty osobliwe krzywych oraz równań różniczkowych.

Analiza zespolona

Każdą funkcję holomorficzną, czyli funkcję w przestrzeni liczb zespolonych określoną przez równania Cauchy'ego-Riemanna, można rozwinąć w szereg potęgowy, tzw. szereg Laurenta, tak jak funkcję o wartościach rzeczywistych w szereg Taylora. Wyrazy rozwinięcia, w których wykładniki potęg są dodatnie, nazywa się częścią regularną, zaś te, w których są one ujemne, nazywa się częścią osobliwą. Rząd osobliwości zależy od największego z ujemnych wykładników. Taka osobliwość bywa nazywana biegunem lub punktem osobliwym.

Istnienie punktu osobliwego jest związane z koniecznością omijania tego punktu, w którym wartość funkcji byłaby nieskończona i obliczania całek konturowych. W formalizmie tym stosowane są lematy Jordana, które uzasadniają upraszczanie się całki na łukach konturu oraz twierdzenie o residuach.

Punkt rozgałęzienia funkcji nie musi być punktem osobliwym, wynika z istnienia funkcji wielowartościowych i płatów Riemanna, na których funkcja zmienia wartość zespoloną.

Podstawą obliczeń wykorzystujących istnienie punktów osobliwych funkcji jest twierdzenie o residuach: każdą całkę konturową, w której jest n punktów osobliwych, można zamienić na n całek po konturach będących okręgami otaczającymi te osobliwości.

Istotne w takim rachunku jest właściwe wyznaczenie biegunów funkcji i określenie konturu całkowania.

Kalkulator nie obliczy całki po obszarze zawierającym punkt osobliwy, ponieważ procesor dokonuje obliczeń stosując jedynie metodę kwadratur.

Fizyka

Zagadnienie to bywa dyskutowane przy wyznaczaniu funkcji Greena niejednorodnego równania falowego, czyli równania falowego ze źródłami, np. w przestrzeni Minkowskiego. Stosowane również do wyznaczania amplitudy rozpraszania na bryłach z wierzchołkami, np. na stożku.

Zobacz też

• biegun (analiza zespolona)