Prawa rachunku zdań

Ważniejsze prawa rachunku zdań:

Z jedną zmienną zdaniową

nazwa prawa	wzór (formuła)
tożsamości (każde zdanie implikuje siebie)	$p\Rightarrow p$
podwójnego przeczenia (dowolne zdanie równoważne jest podwójnej negacji tego zdania)	$p\Leftrightarrow \lnot \lnot p$
idempotentności koniunkcji	$p\Leftrightarrow (p\land p)$
idempotentności alternatywy	$p\Leftrightarrow (p\lor p)$
wyłączonego środka (z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe; prawo to jest odpowiednikiem reguły tertium non datur (łac. trzeciej możliwości nie ma))	$p\lor \lnot p$
niesprzeczności (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie)	$\lnot (p\land \lnot p)$
Claviusa (jeżeli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe)	$(\lnot p\Rightarrow p)\Rightarrow p$

Z dwoma zmiennymi zdaniowymi

nazwa prawa	wzór (formuła)
przemienności koniunkcji	$(p\land q)\Leftrightarrow (q\land p)$
przemienności alternatywy	$(p\lor q)\Leftrightarrow (q\lor p)$
prawa pochłaniania	$p\Rightarrow (p\lor q)$
	$(p\land q)\Rightarrow p$
	$[p\land (p\lor q)]\Leftrightarrow p$
	$[p\lor (p\land q)]\Leftrightarrow p$
pierwsze De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji)	$\lnot (p\land q)\Leftrightarrow (\lnot p\lor \lnot q)$
drugie De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy)	$\lnot (p\lor q)\Leftrightarrow (\lnot p\land \lnot q)$
Dunsa Szkota (jeżeli zdanie jest fałszywe, to wynika z niego każde inne zdanie)	$\lnot p\Rightarrow (p\Rightarrow q)$
symplifikacji (jeżeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego)	$p\Rightarrow (q\Rightarrow p)$
prawa transpozycji jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego	$(p\Rightarrow q)\Rightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)$
modus tollendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia)	$[(p\Rightarrow q)\land \lnot q]\Rightarrow \lnot p$
jeżeli z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, to z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze	$(\lnot p\Rightarrow q)\Rightarrow (\lnot q\Rightarrow p)$
modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy zaprzeczenia)	$[(p\lor q)\land \lnot p]\Rightarrow q$
jeżeli z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, to z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego	$(p\Rightarrow \lnot q)\Rightarrow (q\Rightarrow \lnot p)$
modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy potwierdzenia)	$[(\lnot p\lor \lnot q)\land p]\Rightarrow \lnot q$
prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe; modus ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia)	$[(p\Rightarrow q)\land p]\Rightarrow q$
eliminacji implikacji	$(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot p\lor q)$
zaprzeczenia implikacji	$\lnot (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (p\land \lnot q)$
redukcji do absurdu (reductio ad absurdum)	$[(p\Rightarrow q)\land (p\Rightarrow \lnot q)]\Rightarrow \lnot p$

Z trzema zmiennymi zdaniowymi

nazwa prawa	wzór (formuła)
łączności koniunkcji	$[(p\land q)\land r]\Leftrightarrow [p\land (q\land r)]$
łączności alternatywy	$[(p\lor q)\lor r]\Leftrightarrow [p\lor (q\lor r)]$
rozdzielności koniunkcji względem alternatywy	$[p\land (q\lor r)]\Leftrightarrow [(p\land q)\lor (p\land r)]$
rozdzielności alternatywy względem koniunkcji	$[p\lor (q\land r)]\Leftrightarrow [(p\lor q)\land (p\lor r)]$
przechodności implikacji – przykład sylogizmu warunkowego (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)	$[(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)]\Rightarrow (p\Rightarrow r)$
prawo Fregego	$[p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]\Rightarrow [(p\Rightarrow q)\Rightarrow (p\Rightarrow r)]$

Zobacz też

• algebra Boole’a
• reguła opuszczania alternatywy
• reguła opuszczania koniunkcji