Przejdź do zawartości

Nierówności między średnimi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie, tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka.

Oznacza to, że[1]:

Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe.

Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi.

Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności:

dla

i

bądź wersję całkową:

dla całkowalnej i dodatniej w

Dowody

[edytuj | edytuj kod]

Nierówność Cauchy’ego między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi potęgowymi, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy’ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności między średnimi potęgowymi, dla poszczególnych nierówności zawartych wśród nierówności Cauchy’ego.

Średnia arytmetyczna i geometryczna

[edytuj | edytuj kod]

Dowód przy użyciu twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych

[edytuj | edytuj kod]

Niniejszy dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych.

Weźmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: Możemy założyć bez straty ogólności, że jest on uporządkowany nierosnąco, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, ciąg ten jest wobec tego monotoniczny, a w szczególności jest jednomonotoniczny sam ze sobą. Następnie mnożąc kolejne elementy tego ciągu ‘po przekątnej’ i operację tę powtarzając razy, jak na przykładzie dla (mnożymy wyrazy tego samego koloru):

po dodaniu otrzymujemy:

zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych:

co po podzieleniu obustronnie przez daje żądaną nierówność:

Dowód przy użyciu nierówności Jensena

[edytuj | edytuj kod]

Funkcja jest wklęsła w przedziale Z nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej przy

otrzymujemy, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi

Stąd:

Funkcja jest rosnąca, więc jest to równoważne:

co kończy dowód.

Dowód przy użyciu nierówności Muirheada

[edytuj | edytuj kod]

Biorąc ciągi i z nierówności Muirheada otrzymujemy natychmiast:

czyli

Dowód indukcyjny

[edytuj | edytuj kod]

Poniższy dowód opiera się na indukcji matematycznej w nietypowy sposób, gdyż stosuje się w nim indukcję wsteczną. Został on podany przed Cauchy'ego w jego dziele Cours d’analyse de l’École Polytechnique[2]

Przypadek jest trywialny, gdyż średnia arytmetyczna i geometryczna są zawsze równe sobie.

Przypadki dwóch składników

Na początku udowodnijmy nierówność w przypadku dwóch składników tj.

Ponieważ każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna, zatem:

po spierwiastkowaniu:

co kończy dowód dla .

Ponadto z podanej na początku nierówności wynika fakt, że średnie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są takie same.

Przypadek

Następnie można udowodnić za pomocą indukcji, że jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla , to jest też prawdziwe dla :

Wynika stąd, że dla każdego naturalnego :

Pozostałe przypadki

Ponieważ ciąg nie jest ograniczony z góry, oznacza to, że każda liczba jest mniejsza od jakiejś liczby naturalnej będącej potęgą liczby 2.

Dzięki temu aby wykazać zachodzenie nierówności dla dowolnej ilości liczb, wystarczy wykazać indukcyjnie, że jeżeli jest ono prawdziwe dla to jest ono także prawdziwe dla :

Niech . Wtedy

dalej:

Stąd wiemy, że nierówność między średnimi ma miejsce dla dowolnej ilości liczb, co kończy dowód.

Średnia geometryczna i harmoniczna

[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną:

gdzie są dodatnie (z czego wynika, że ich odwrotności są dodatnie).

Funkcja

jest malejąca, więc po nałożeniu jej obustronnie na powyższą nierówność otrzymujemy:

co kończy dowód.

Średnia arytmetyczna i kwadratowa

[edytuj | edytuj kod]

Dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych.

Rozważmy sumę:

nierosnącego ciągu liczb rzeczywistych dodatnich Zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu.

Po pomnożeniu jej przez otrzymujemy:

co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia.

Łatwo zauważyć, że iloczyn: jest sumą dokładnie takich sum, zatem:

dzielimy obustronnie przez

i wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy:

co kończy dowód.

Przykładowe zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

Ciąg dąży do 1

[edytuj | edytuj kod]

Przy użyciu nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną oraz twierdzenia o trzech ciągach można wykazać, że

Rzeczywiście,

skąd

Ponieważ

więc również

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. średnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-04-12].
  2. Gallica - [online], visualiseur.bnf.fr [dostęp 2023-11-30].