Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa , określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta , przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy . John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.
Niech
X
{\displaystyle X}
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
H
{\displaystyle H}
L
(
H
)
{\displaystyle L(H)}
H
.
{\displaystyle H.}
Funkcję
E
:
M
→
L
(
H
)
{\displaystyle E\colon {\mathfrak {M}}\to L(H)}
miarą spektralną w przestrzeni
X
{\displaystyle X}
E
(
B
)
{\displaystyle E(B)}
operatorem rzutowym dla
B
∈
M
.
{\displaystyle B\in {\mathfrak {M}}.}
E
(
X
)
=
I
,
{\displaystyle E(X)=I,}
E
(
B
1
∩
B
2
)
=
E
(
B
1
)
∘
E
(
B
2
)
,
B
1
,
B
2
∈
M
{\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {M}}}
Funkcja
B
↦
E
(
B
)
x
,
x
∈
H
,
B
∈
M
{\displaystyle B\mapsto E(B)x,\;x\in H,\;B\in {\mathfrak {M}}}
miarą wektorową . Gdy
B
1
,
B
2
∈
M
{\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {M}}}
B
1
⊆
B
2
,
{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2},}
E
(
B
1
)
⩽
E
(
B
2
)
{\displaystyle E(B_{1})\leqslant E(B_{2})}
(
E
(
B
1
)
h
|
h
)
⩽
(
E
(
B
2
)
h
|
h
)
,
h
∈
H
.
{\displaystyle (E(B_{1})h|h)\leqslant (E(B_{2})h|h),\;h\in H.}
‖
E
(
B
1
)
h
‖
2
=
(
E
(
B
1
)
h
|
h
)
,
{\displaystyle \|E(B_{1})h\|^{2}=(E(B_{1})h|h),}
E
(
B
1
)
H
⊆
E
(
B
2
)
H
{\displaystyle E(B_{1})H\subseteq E(B_{2})H}
E
(
B
1
)
{\displaystyle E(B_{1})}
podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni
E
(
B
2
)
H
.
{\displaystyle E(B_{2})H.}
Jeżeli
h
,
k
∈
H
{\displaystyle h,k\in H}
B
∈
M
,
{\displaystyle B\in {\mathfrak {M}},}
E
h
,
k
(
B
)
:=
(
E
(
B
)
h
|
k
)
{\displaystyle E_{h,k}(B):=(E(B)h|k)}
wahaniu ograniczonym przez
‖
h
‖
‖
k
‖
.
{\displaystyle \|h\|\|k\|.}
Niech
X
{\displaystyle X}
przestrzenią zwartą oraz
M
=
B
(
X
)
{\displaystyle {\mathfrak {M}}={\mathcal {B}}(X)}
zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli
μ
:
B
(
X
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ]}
miarą oraz
H
=
L
2
(
μ
)
{\displaystyle H=L^{2}(\mu )}
X
,
{\displaystyle X,}
μ
,
{\displaystyle \mu ,}
E
(
B
)
f
=
f
⋅
1
B
,
B
∈
B
(
X
)
,
f
∈
H
{\displaystyle E(B)f=f\cdot \mathbf {1} _{B},\;B\in {\mathcal {B}}(X),f\in H}
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
funkcję charakterystyczną .
Krzysztof Maurin : Analiza - Część I - Elementy . Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce 
![{\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc8fcc88971987b6fbaa72885b7268881d195b0)
