Metoda nawiasów Liego
Warunek rzędu algebry Liego (LARC, ang. Lie Algebra Rank Condition) – metoda określania, czy nieliniowy układ bezdryfowy (np. robot mobilny) jest układem sterowalnym. Zagadnienie to związane jest z algebrą Liego. Metoda polega na generacji kolejnych pól wektorowych tak długo, aż uzyska się z ich złożenia macierz o pełnym wymiarze (należy pamiętać o tym, żeby baza generatora nie powtarzała się). Jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera, to układ jest sterowalny.
Zastosowanie
[edytuj | edytuj kod]Aby zastosować tę metodę potrzebny jest bezdryfowy układ sterowania opisany na grupie Liego w postaci:
gdzie:
- – bazowe generatory pól wektorowych,
- – sygnały sterujące,
- – pochodna po czasie (współrzędnych wewnętrznych lub współrzędnych stanu)
Do wygenerowania pola wektorowego kolejnego rzędu stosowane jest równanie nawiasu Liego:
Wektory generuje się tak długo, aż uzyska się z ich złożenia dystrybucję (macierz) o pełnym wymiarze (baza generatora nie może się powtarzać). Jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera, to układ jest sterowalny. Ruch w kierunku jest stosunkowo mało wydajny, dlatego też przyjmuje się, że brane są nawiasy Liego niższego stopnia tak długo, jak długo kierują robota na cel.
- Uwaga!
- Powyższe rozważanie na temat sterowalności zachodzi tylko dla bezdryfowych układów afinicznych. W ogólności w ten sposób można wnioskować o lokalnej osiągalności w krótkim czasie (STLC, ang. Small-Time Local Controllability).
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Dla wektorów:
jednym z nawiasów Liego jest:
Po złożeniu uzyskuje się macierz:
o wyznaczniku równym 1. Układ ten jest układem sterowalnym.