Kwantowanie (fizyka)

Kwantowanie, kwantyzacja^[1] – konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola. Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

Metody kwantowania

Kwantowanie kanoniczne

W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona (hamiltonian będący funkcją położeń uogólnionych $q_{i}$ i pędów uogólnionych $p_{i}$ – zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako

\{A,B\}=\sum _{i=1}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{i}}}\right).

Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio ( $k$ i $l$ indeksują zmienne kanoniczne)

\{q_{l},q_{k}\}=0,

\{p_{l},p_{k}\}=0,

\{q_{l},p_{k}\}=\delta _{lk}.

Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory

\{.,.\}\longrightarrow {\frac {1}{i\hslash }}[.,.],

czyli

{\hat {H}}=H({\hat {q}},{\hat {p}},t),

[{\hat {q}}_{l},{\hat {q}}_{k}]=0,

[{\hat {p}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=0,

[{\hat {q}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=i\hslash \delta _{lk}.

Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie funkcji falowej. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji $\Psi (q)$ można wprowadzić operatory

{\hat {q}}_{i}\Psi (q)=q_{i}\Psi (q),

{\hat {p}}_{i}\Psi (q)=-i\hslash {\frac {\partial \Psi (q)}{\partial q_{i}}}.

spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia stanów własnych pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.

Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej

Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać $H={\frac {1}{2m}}{\vec {p}}^{\,2}.$ Odpowiadający mu kwantowy operator to ${\hat {H}}=-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta .$ Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii, rozwiązujemy równanie