Przejdź do zawartości

Interpolacja trygonometryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Interpolacja trygonometryczna – metoda przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Taka interpolacja daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, pozbawionych okresowości, powodują duże błędy interpolacji.

Przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy punkty węzłowe są równoodległe. W takim przypadku najlepszym rozwiązaniem jest dyskretna transformata Fouriera.

Metoda ogólna

[edytuj | edytuj kod]

Opracowano na podstawie materiału źródłowego[1].

Założeniem każdej interpolacji jest spełnienie warunków: gdzie:

Wtedy:

  • Dla nieparzystej ilości punktów węzłowych:
  • Dla parzystej ilości punktów węzłowych:
  • Dla obu powyższych przypadków:

Przykład

[edytuj | edytuj kod]
Punkty węzłowe z przykładu i funkcja interpolująca przez nie przechodząca
Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:

Rozwiązanie

[edytuj | edytuj kod]
Ilość punktów interpolowanych: (parzyste)
Stopień:

Odpowiedź

[edytuj | edytuj kod]

Wielomian zespolony

[edytuj | edytuj kod]

Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:

gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że wtedy

Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej[2].

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b Interpolacja Trygonometryczna i Szybka Transformata Fouriera. Uniwersytet Warszawski. [dostęp 2011-04-01].
  2. Interpolation using Fourier Polynomials. [dostęp 2011-03-26]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-11)]. (ang.).