Czas połowicznego rozpadu

Wykładnicze zmniejszanie się liczby N cząstek z upływem czasu t czasu.

Czas połowicznego rozpadu (zaniku), okres połowicznego rozpadu (zaniku) $T_{1/2}$ – czas, w którym liczba nietrwałych mikroobiektów (ilość substancji) redukuje się do połowy wartości początkowej. Termin ten jest powszechnie używany w fizyce jądrowej do opisania, jak szybko niestabilne atomy ulegają rozpadowi radioaktywnemu lub jak długo przetrwają stabilne atomy. Termin ten jest również używany bardziej ogólnie do scharakteryzowania dowolnego procesu zachodzącego zgodnie z prawem rozpadu naturalnego (lub rzadko niewykładniczego). Na przykład nauki medyczne odnoszą się do biologicznego okresu półtrwania leków i innych substancji chemicznych w organizmie człowieka. Odwrotnością okresu półtrwania (przy wzroście wykładniczym) jest czas podwojenia.

Liczba obiektów $N$ (jąder atomowych, cząstek elementarnych, atomów, cząsteczek w stanach wzbudzonych) zmienia się z upływem czasu $t$ wg zależności:

$N(t)=N_{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{T_{1/2}}},$

gdzie $N_{0}$ – liczba obiektów w chwili $t=0.$

Z wzoru $N(t)$ dla $t=T_{1/2}$ otrzyma się:

$N(T_{1/2})=N_{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {T_{1/2}}{T_{1/2}}}=N_{0}\cdot {\frac {1}{2}}$

po czasie $t=T_{1/2}$ pozostanie połowa początkowej liczby, zgodnie z definicją czasu połowicznego rozpadu.

Czas połowicznego rozpadu jądra danego izotopu promieniotwórczego nie zależy od czynników zewnętrznych (temperatura, ciśnienie, stan skupienia, obecność atomu izotopu w cząsteczce związku chemicznego). Po czasie połowicznego rozpadu aktywność promieniotwórcza próbki zmniejsza się o połowę.

Stała rozpadu. Średni czas życia

Szybkość przemian zachodzących zgodnie z prawem rozpadu naturalnego opisywana jest przez równoważne parametry:

$T_{1/2}$ – czas połowicznego rozpadu,

$\lambda$ – stała rozpadu, określa prawdopodobieństwo zajścia jednej przemiany w jednostce czasu,

$\tau$ – średni czas życia, czas, po którym pozostaje 1/e początkowej liczby cząstek.

Między wielkościami zachodzą związki:

$\tau =\langle t\rangle ={\frac {\int \limits _{0}^{\infty }te^{-\lambda t}dt}{\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}dt}}$

Po obliczeniu całek w powyższym wzorze otrzymuje się:

$\tau ={\frac {-1/\lambda ^{2}}{-1/\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}.$

Średni czas życia jest odwrotnością stałej rozpadu.

Prawdopodobieństwo przeżycia

Z początkowych $N_{0}$ cząstek nietrwałych, po czasie $t$ ich ilość zmniejsza się do $N(t).$ Prawdopodobieństwo przeżycia przez cząstkę czasu $t$ opisuje zależność:

$P(t)={\frac {N(t)}{N_{0}}}=e^{-\lambda t}.$

Z czasem połowicznego rozpadu związane jest prawdopodobieństwo przeżycia cząstki równe 1/2 (z powyższego wzoru wynika bowiem, że $P=1/2$ dla $t={\frac {\ln 2}{\lambda }}=T_{1/2}$).

Oznacza to, że prawdopodobieństwo przeżycia przez cząstkę dwóch okresów połowicznego rozpadu wynosi (1/2)^2=1/4, trzech - (1/2)^3=1/8.

Rozpad stanu początkowego na dwa i więcej stanów końcowych

Niektóre cząstki rozpadają się na dwa, trzy, itd. różne produkty finalne. Jeżeli poszczególne procesy są niezależne i mają charakter wykładniczy o czasach połowicznego rozpadu $t_{1},t_{2},t_{3},\cdots$, to czas połowicznego rozpadu ${\textstyle T_{1/2}}$uwzględniające wszystkie te procesy wyraża wzór:

${\frac {1}{T_{1/2}}}={\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}+{\frac {1}{t_{3}}}+\cdots$

Czas połowicznego rozpadu wybranych pierwiastków promieniotwórczych.

Izotop	Nazwa	Czas $T_{1/2}$
$_{1}^{3}\mathrm {H}$	wodór (tryt)	12 lat
$_{3}^{8}\mathrm {Li}$	lit	0,8 s
$_{5}^{12}\mathrm {B}$	bor	0,02 s
$_{6}^{14}\mathrm {C}$	węgiel	5730 lat
$_{7}^{12}\mathrm {N}$	azot	0,011 s
$_{7}^{13}\mathrm {N}$	azot	10 min
$_{7}^{16}\mathrm {N}$	azot	7,2 s
$_{9}^{18}\mathrm {F}$	fluor	110 min
$_{19}^{40}\mathrm {K}$	potas	1,3 mld lat
$_{43}^{99}\mathrm {Tc}$	technet	6 h
$_{53}^{131}\mathrm {I}$	jod	8 dni
$_{84}^{218}\mathrm {Po}$	polon	45 s
$_{86}^{222}\mathrm {Rn}$	radon	3,8 dnia
$_{88}^{226}\mathrm {Ra}$	rad	1600 lat
$_{92}^{238}\mathrm {U}$	uran	4,5 mld lat

Biologiczny czas połowicznego rozpadu

Wprowadza się także biologiczny okres półtrwania $T_{biol}$, odpowiadający okresowi, po jakim nastąpi zmniejszenie aktywności danego izotopu promieniotwórczego do połowy wartości wchłoniętej do środowiska lub organizmu. Tak zdefiniowany czas połowicznego rozpadu jest niemal zawsze krótszy od czasu fizycznego, ponieważ rozważane cząstki mogą być usuwane z rozważanego układu.

Efektywny czas połowicznego rozpadu

W medycynie nuklearnej wprowadza się dodatkowo pojęcie efektywnego czasu połowicznego rozpadu T_ef. Określa on, po jakim czasie aktywność izotopu promieniotwórczego zmaleje o połowę wskutek jej zaniku wynikającego z prawa rozpadu naturalnego oraz wydalania z organizmu, jego wartość jest:

${\frac {1}{T_{ef}}}={\frac {1}{T_{fiz}}}+{\frac {1}{T_{biol}}}$

$T_{ef}={\frac {T_{fiz}\cdot T_{biol}}{T_{fiz}+T_{biol}}}.$

Zobacz też

• prawo rozpadu naturalnego
• rozpad promieniotwórczy
• cząstki elementarne

Bibliografia

• Adam Strzałkowski: Wstęp do fizyki jądra atomowego. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978. Brak numerów stron w książce
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527, str. 337-340
• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.