Cykl (teoria grafów)
Wygląd
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Simple_cycle_graph.svg/220px-Simple_cycle_graph.svg.png)
Cykl grafu – zamknięta droga prosta taka że krawędź kończy się w początkowym wierzchołku drogi[1].
Rodzaje cykli
[edytuj | edytuj kod]- Cykl prosty to droga zamknięta, czyli taka, której koniec (ostatni wierzchołek) jest identyczny z początkiem (pierwszym wierzchołkiem)[2]. Cykl prosty jest szczególnym (prostszym) przypadkiem cyklu.
- Cykl Hamiltona – cykl prosty przebiegający przez wszystkie wierzchołki grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz (oprócz pierwszego wierzchołka).
- Cykl Eulera – cykl zawierający wszystkie krawędzie grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz.
- Cykl własny – w multigrafie cykl złożony z jednej krawędzi, która zaczyna się i kończy w tym samym wierzchołku (zwany też pętlą własną wierzchołka).
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie jest nie mniejszy niż to graf zawiera cykl.
Dowód twierdzenia
[edytuj | edytuj kod]Oznaczmy najmniejszy stopień wierzchołka w grafie przez Na podstawie lematu o uściskach dłoni wiemy, że:
Ponieważ każdy wierzchołek grafu (z założenia) jest stopnia co najmniej możemy zapisać, że:
Po przekształceniu otrzymujemy:
Jak widać, liczba krawędzi w grafie jest większa lub równa od liczby wierzchołków Łatwo zauważyć, że wobec tego w grafie występuje przynajmniej jeden cykl, co kończy dowód.
- Wyjaśnienie: stworzenie ścieżki (lub drzewa) o wierzchołkach (niezawierającej cykli) pozwala „zużyć” do połączenia co najwyżej krawędzi. Ostatnia, -ta krawędź, jaką musimy „dołożyć” do grafu zgodnie z założeniami, utworzy cykl.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright: Matematyka dyskretna. Warszawa: 2005, s. 146. ISBN 83-0114-380-0.
- ↑ Reinhard Diestel: Graph Theory. Nowy Jork: 2000, s. 7. ISBN 0-387-95014-1.