Asymptota

Funkcja ${\tfrac {1}{x}}+x$ ma dwie asymptoty: $y=x$ oraz $x=0.$

Krzywa może przecinać asymptotę również nieskończoną liczbę razy

Na powyższym rysunku, funkcja ${\tfrac {1}{x}}$ ma dwie asymptoty: $x=0$ oraz $y=0,$ które są obustronne

Asymptota krzywej (gr. ἀσύμπτοτη, „nie stykać się”) – prosta $l$ jest asymptotą danej krzywej $C$ (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej $C$ odległość tego punktu od prostej $l$ dąży do zera.

Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Odmiany asymptot funkcji

Pionowe

Jeśli krzywa dana jest w postaci $y=f(x),$ gdzie $f$ jest funkcją, która nie jest określona w punkcie $x=a,$ to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa:

• $\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota lewostronna)
• $\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota prawostronna)
• $\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty \wedge \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa $+\infty$ a druga $-\infty$)

Poziome i ukośne

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej $y=ax+b$ dla krzywej danej w postaci $y=f(x)$ można wyznaczyć jako granice:

• w przypadku asymptoty prawostronnej:

$a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}$

oraz

$b=\lim _{x\to +\infty }(f(x)-ax)$

• w przypadku asymptoty lewostronnej:

$a=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}$

oraz

$b=\lim _{x\to -\infty }(f(x)-ax)$

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających $a$ lub $b$ nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli $a=0,$ to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Zobacz też

• granica funkcji

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: WSiP, 1990, s. 14. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:
  • Asymptoty ukośne, 24 października 2018.
  • Więcej o asymptotach ukośnych, 25 października 2018.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Asymptote, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Asymptote (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].