Algorytm Grahama

Algorytm Grahama

Rodzaj	znajdowanie otoczki wypukłej
Złożoność
Czasowa	$O(n\log n)$

Algorytm Grahama – efektywny algorytm wyszukiwania otoczki wypukłej skończonego zbioru punktów płaszczyzny; nie istnieją warianty dla przestrzeni o wyższych wymiarach. Pomysłodawcą algorytmu jest Ronald Graham.

Czasowa złożoność obliczeniowa wynosi $O(n\log n).$

Algorytm przebiega następująco:

1. Wybierz punkt (ozn. O) o najniższej wartości współrzędnej y.
2. Przesuń wszystkie punkty tak, by punkt O pokrył się z początkiem układu współrzędnych.
3. Posortuj punkty leksykograficznie względem:
   • kąta pomiędzy wektorem $OP_{i}$ a dodatnią osią układu współrzędnych,
   • odległości punktu $P_{i}$ od początku układu współrzędnych.
4. Wybierz punkt (ozn. S) o najmniejszej współrzędnej y; jeśli kilka punktów ma tę samą współrzędną y, wybierz spośród nich ten o najmniejszej współrzędnej x.
5. Przeglądaj listę posortowanych punktów poczynając od punktu S:
   • Od bieżącej pozycji weź trzy kolejne punkty (ozn. A, B, C).
   • Jeśli punkt B leży na zewnątrz trójkąta AOC, to może należeć do otoczki wypukłej. Przejdź do następnego punktu na liście.
   • Jeśli punkt B leży wewnątrz trójkąta AOC, to znaczy, że nie należy do otoczki. Usuń punkt B z listy i cofnij się o jedną pozycję (o ile bieżąca pozycja jest różna od początkowej).

Ze względu na wcześniejsze kroki algorytmu (sortowanie i sposób wybierania analizowanych trójek punktów) dwa z trzech warunków należenia punktu B do trójkąta AOC są spełnione, tj. B leży po „wewnętrznej” względem trójkąta stronie prostych OA i OC. Zatem do stwierdzenia przynależności do trójkąta wystarczy zbadać, po której stronie odcinka AC znajduje się punkt B, w tym celu wykorzystuje się znak iloczynu wektorowego $|C-A|\times |B-A|.$

W praktyce można również utożsamić krok 4. z 1., tzn. przyjąć, że $O=S.$

• Przykładowy przebieg algorytmu
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Zobacz też

• algorytm Jarvisa
• quickhull

Bibliografia

• Mark de Berg, Mirosław Kowaluk: Geometria obliczeniowa. Algorytmy i zastosowania. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2007. ISBN 978-83-204-3244-2. Brak numerów stron w książce
• Lech Banachowski, Krzysztof Diks, Wojciech Rytter: Algorytmy i struktury danych. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2003, s. 263–267. ISBN 83-204-2796-7.